Una de las aplicaciones más frecuentes de la función cuadrática se presenta cuando analizamos variación del área de un cuadrado con respecto a la longitud de su lado. Si el lado mide 2 cm, su área es de 4cm², si es de 3 cm, su área es de 9 cm², de tal manera que para cualquier longitud x-5 del lado, su área A se puede calcular mediante la expresión A= (x-5) ².
Al representar esta variación del área en función de x, se obtiene una parábola.
Ejercicio1: represente en el plano el área A de un cuadrado en función de su longitud del lado x-5.
El gráfico de la variación anterior de las magnitudes Area A y longitud del lado X-5, es una rama de parábola, ya que los valores de x deben ser mayores que cinco (x>5). Supóngase ahora que el lado del cuadrado X-5 se disminuye en 3 unidades cada uno de sus lados. Su nueva área sería (x-3-5)(x-3-5).
Ejercicio 2: Escriba la expresión A=(x-8)(x-8) de tal manera que el producto se vea realizado. Aplique la propiedad distributiva.
Al representar la variación de la nueva área A =(x-8)(x-8) en el plano cartesiano, se obtiene una rama de parábola que crece desde el punto (0,0) hasta el punto (8,0) y desde allí va subiendo.
Ejercicio 3: Hallar la coordenada del punto mínimo (vértice) de la grafica de A=x²-16x+64 (Recuerde que en este caso x debe ser mayor que 8).
El proceso para hallar este tipo de expresiones para el área del rectángulo resulta sencilla cuando de multplicar se trata, pero se requiere de tener precaución y seguridad al multiplicar.
Ejercicio 4: Dos lados opuestos de un cuadrado se reducen en 7 unidades y los otros dos lados se aumentan en 2 unidades. ¡Cuál es la expresión de la nueva área del cuadrado y en cuando se disminuye? Recuerde que la variación del área se calcula restando del área final, el área inicial (llamado también delta y simbolizado con Δ, para este caso sería ΔA=Af-Ai)
De esta forma, se pueden encontrar gran cantidad de expresiones que representen el área de un cuadrilátero que ha sido transformado aumentando o disminuyendo sus dimensiones. Para el caso de un trapecio, cuya área se caclula como el producto del promedio de sus bases con su altura (distancia entre las bases), se puede presentar la siguiente situación:
Al representar esta variación del área en función de x, se obtiene una parábola.
Ejercicio1: represente en el plano el área A de un cuadrado en función de su longitud del lado x-5.
El gráfico de la variación anterior de las magnitudes Area A y longitud del lado X-5, es una rama de parábola, ya que los valores de x deben ser mayores que cinco (x>5). Supóngase ahora que el lado del cuadrado X-5 se disminuye en 3 unidades cada uno de sus lados. Su nueva área sería (x-3-5)(x-3-5).
Ejercicio 2: Escriba la expresión A=(x-8)(x-8) de tal manera que el producto se vea realizado. Aplique la propiedad distributiva.
Al representar la variación de la nueva área A =(x-8)(x-8) en el plano cartesiano, se obtiene una rama de parábola que crece desde el punto (0,0) hasta el punto (8,0) y desde allí va subiendo.
Ejercicio 3: Hallar la coordenada del punto mínimo (vértice) de la grafica de A=x²-16x+64 (Recuerde que en este caso x debe ser mayor que 8).
El proceso para hallar este tipo de expresiones para el área del rectángulo resulta sencilla cuando de multplicar se trata, pero se requiere de tener precaución y seguridad al multiplicar.
Ejercicio 4: Dos lados opuestos de un cuadrado se reducen en 7 unidades y los otros dos lados se aumentan en 2 unidades. ¡Cuál es la expresión de la nueva área del cuadrado y en cuando se disminuye? Recuerde que la variación del área se calcula restando del área final, el área inicial (llamado también delta y simbolizado con Δ, para este caso sería ΔA=Af-Ai)
De esta forma, se pueden encontrar gran cantidad de expresiones que representen el área de un cuadrilátero que ha sido transformado aumentando o disminuyendo sus dimensiones. Para el caso de un trapecio, cuya área se caclula como el producto del promedio de sus bases con su altura (distancia entre las bases), se puede presentar la siguiente situación:
Ejercicio 5: Escribir la expresión que permite calcular el área A del trapecio de la figura de la izquierda en función del la variable m.
Estas funciones cuadráticas se aplican en diferentes áreas de conocimiento. Por ejemplo en Ciencias Naturales Física, la energía cinética se calcula con la expresión Ec= (1/2) mV², donde Ec es la energía cinética que puede ser medida en julios o ergios , m es la masa del objeto y V es la velocidad que experimenta. Se puede concluir que la Ec está en función cuadrática de la velocidad, ya que esta en su relación está elavada al cuadrado.
Ejercicio 6: De acuerdo con la información, ¡Qué se puede concluir de la Ec de un cuerpo si se duplica su velocidad? ¿Què se concluye si se reduce a la mitad? Recomiendo que en la fórmula inicial se reemplace V por 2V y se compare para la primera pregunta.
En la medicina existen funciones que representan la variaciòn de dos magnitudes como concentraciòn C (en miligramos por mm³) de una sustancia en la sagre, despuès de cierto tiempo t (en horas), que puede estar dada por la expresión C(t) = 10 - 3t - t². Es fácil ver que la concentración inicial es de 10mmg/mm³, ya que ocurre cuando t=0.
Ejercicio 7: De acuerdo con la expresión C(t) = 10 - 8t - t², calcular la concentración de la sustancia después de una hora y media (1,5 horas).
Una pregunta muy interesante en este problema es, ¿en qué momento existe la mayor concentración de sustancia en la sangre? Para esto hay que buscar el vèrtice de la parábol, que es un punto máximo.
Ejercicio 8: En la expresión C(t)= 10 - 8t - t², ¿para qué valores o valor de t, se obtiene el máximo valor de C?
El comportamiento de esta sustancia en la sangre se puede visualizar si realizamos una tabulación para t (t>=0) y ubicamos las parejas en el plano.
Ejercicio 9: Represente en el plano la concentración C de la sustancia en función del tiempo t, si C(t)=10 - 8t - t².
Para convertir esta expresión en C = a(t-h)² + k, pra identificar su punto máximo, es necesario ordenar el trinomio: C(t)= - t² - 8t+10 y luego dividir ambos lados por -1, para dejar el término cuadrático con coeficiente positivo y hacer la completación del TCP.
Ejercicio 10: Escribir la expresión C(t)= - t² - 8t+10 de la forma canónica.
Por último,
Ejercicio 11: ¿Cuánto tiempo ha transcurrido para que la concentración de la sustancia sea de 11 mmg/mm³? Nota: se debe plantear una ecuación y aplicar la fórmula cuadrática identificando a, b y c.
Espero de nuevo que estas situaciones para pensar logren movilizar pensamiento en ustedes y tomen conciencia de la importancia del saber matemático para la mejor comprensión de todo lo que ocurre en este mundo fenomenológico que llamamos vida.
Este detenernos ahora resulta mejor que hacerlo en grados superiores donde por motivos de tiempo ya no hay nada que hacer.
Ejercicio 12: Racionalizar la expresiòn 4/ (5-2 √7)
Ejercicio 13: ¿Cuál es el valor de p en la expresión p= x²-4x + √12 si x=√3 ?
Ejercicio 14. Los catetos de un triángulo rectángulo isòsceles miden 10-2√2, calcular la medida de su hipotenusa.
Ejercicio 15: Simplificar √(300x²y³z²)
Ejercicio 16: Representar en el plano cartesiano y=log(3x-5)
Ejercicio 17: Sea x= 3 log2(y), representarlo en el plano cartesiano.
Ejercicio final: realizar los ejercicios pares de la unidad del texto guía referente a potenciaciòn y radicaciòn. Se encuentre en la parte inicial del texto.
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