COMASACA, GRADO 9, Caracterización de la grafica de una parábola, periodo III

La caracterización de la gráfica de una parábola, a partir de su ecuación en forma polinómica, requiere de los siguientes pasos:

1. Escribirla de la forma y=ax²+bx+c

Esta forma permite calcular el corte de la parábola con el eje y, pues se reemplaza x por cero.

2. Transformarla en su forma canónica y-k=(x-h)²

Esta forma permite calcular el punto máximo o mínimo (llamado vértice), según el caso. Además permite calcular los cortes de la parábola con el eje x, haciendo y=0 y despejando la ecuación.

Ejemplo: Caractericemos la ecuación de la parábola y=x²-8x-9

1. Se escribe en su forma polinómica para calcular las coordenadas del corte con y (Cy) así:

y=x²-8x-9

para x= 0 se tiene

y= 0²-8(0)-9

y= 0-0-9

y=-9

o sea que corta al eje y en (0,-9)

2. Forma canónica:

y=x²-8x-9

y= x²-8x+(8/2)²-(8/2)²-9

y= x²-8x+(4)²-(4)²-9

y= x²-8x+16 -16-9

El trinomio en azul es TCP y se factoriza así:

y=(x-4)² - 25

y+25=(x-4)²

Con esta escritura vemos que, como la parábola se abre hacia arriba tiene punto mínimo, cuya coordenada es (4,-25). El punto máximo o mínimo también es llamado Vértice:

v(4,-25)

3. Cortes de la grafica con el eje x: se debe partir de la ecuación canónica, y allí reemplazar y por cero así:

y+25=(x-4)²

0+25=(x-4)²

escrito de derecha a izquierda (propiedad simétrica de la igualdad)

(x-4)²=25

x-4= ±√25

como es exacta la raiz cuadrada de 25, entonces:

x-4=±5

despejando x se tiene que:

x= 4±5

Tiene entonces dos soluciones:

X1= 4+5 y X2=4-5

X1=9 y X2=-1

Quiere decir que las coordenadas de los cortes con x son:

C1x(9,0) y C2x(-1,0)

Ya con esta información se ubica en el plano y se grafica la parábola con mayor precisión.

Ejercicio: caracterizar las siguientes ecuaciones de parábola:

1) y= x²-10x+16

2) y= x²+20x+84

3) y= x²-24x+135