Identidades trigonométricas es un eje temático que se tiene programado en el plan de área, por cualquier docente, maestro o profesor de grado décimo (no es de interés discutir el significado de cada término para referirme a quien enseña y por comodidad llamaré de aquí en adelante profesor) quien lo reconoce como conocimiento esencial para enseñar en este grado.
La esencia del trabajo matemático con las identidades es convertir unas "cosas" en otras, transformarlas de tal manera que su valor sea el mismo para cualquier variación de los valores de sus variables que se haga. ¿Que razón tiene transformar algo para que al final valga lo mismo así lo ponga patas arriba? Este interrogante lo formulan muchos y muchas estudiantes que cuestionan la razón de ser de las matemáticas y, en este caso, de las identidades trigonométricas.
Para ejemplarizar este dilema, pongo a consideración el siguiente ejercicio delcarácter numérico y que persigue potenciar la competencia de razonamiento en este aspecto:
Problema 1: Un número se convierte en otro de la siguiente manera: si existe un dígito impar seguido de uno par, se reemplaza el de la izquierda por la por la cifra de las unidades de la suma entre ellos dos y el de la derecha por la cifra de las unidades del producto entre ellos dos. Así por ejemplo el número 1234 quedaría así: 2 y 3 están seguidos y uno es par y el otro impar. Ahora el 2 se reemplaza por 5 ya que 2+3=5 y el 3 por 6 ya que 2 x3=6 de tal manera que se transforma en 1564 . ¿En qué número se convierte el 3567?
¿Qué sucedería si aplicamos esto a una palabra que tenga dos vocales seguidas? ¿Y si la condición fuese cambiarlas por una letra equivalente a la consonante que le sigue a la segunda vocal? La palabra (buitre) quedaría (bjtre) ¿Qué sucedería con esto si añadiéramos la condición de que a quedar dos letras consecutivas en cualquier orden, ambas se suprimen? La palabra (Ambuika) quedaría
Ambuika= Ambjka= Ambjka=Amba = Am
El símbolo igual en estos casos se debe tomar y leer como equivalente o idéntico a.
Problema 2: Transforme la palabara (Consuegra) de acuerdo con las condiciones de Ambuika, mostrando el procedimiento.
Una ayuda: la respuesta es Ca
La esencia del trabajo matemático con las identidades es convertir unas "cosas" en otras, transformarlas de tal manera que su valor sea el mismo para cualquier variación de los valores de sus variables que se haga. ¿Que razón tiene transformar algo para que al final valga lo mismo así lo ponga patas arriba? Este interrogante lo formulan muchos y muchas estudiantes que cuestionan la razón de ser de las matemáticas y, en este caso, de las identidades trigonométricas.
Para ejemplarizar este dilema, pongo a consideración el siguiente ejercicio delcarácter numérico y que persigue potenciar la competencia de razonamiento en este aspecto:
Problema 1: Un número se convierte en otro de la siguiente manera: si existe un dígito impar seguido de uno par, se reemplaza el de la izquierda por la por la cifra de las unidades de la suma entre ellos dos y el de la derecha por la cifra de las unidades del producto entre ellos dos. Así por ejemplo el número 1234 quedaría así: 2 y 3 están seguidos y uno es par y el otro impar. Ahora el 2 se reemplaza por 5 ya que 2+3=5 y el 3 por 6 ya que 2 x3=6 de tal manera que se transforma en 1564 . ¿En qué número se convierte el 3567?
¿Qué sucedería si aplicamos esto a una palabra que tenga dos vocales seguidas? ¿Y si la condición fuese cambiarlas por una letra equivalente a la consonante que le sigue a la segunda vocal? La palabra (buitre) quedaría (bjtre) ¿Qué sucedería con esto si añadiéramos la condición de que a quedar dos letras consecutivas en cualquier orden, ambas se suprimen? La palabra (Ambuika) quedaría
Ambuika= Ambjka= Ambjka=Amba = Am
El símbolo igual en estos casos se debe tomar y leer como equivalente o idéntico a.
Problema 2: Transforme la palabara (Consuegra) de acuerdo con las condiciones de Ambuika, mostrando el procedimiento.
Una ayuda: la respuesta es Ca
Quien tenga claro el conocimiento de esta rama de las matemáticas puede responder que es simplificar, aminorar escritura, edificar estructura de sustitución para obtener equivalencias, etc. ¿Qué se potencia? ¿Que habilidad adquiere un estudiante cuando resuelve una identidad trigonométrica?
Como lo vimos con el problema anterior, no creo que esto de sustituir palabras con una condición o varias, sea de utilidad. Aclaro que estos métodos son usados para encriptar información a la hora de hablar de seguridad en los documentos escritos.
Es evidente que seguir estas condiciones, como el ejercicio de (Consuegra) , hace que usted inicie una serie de procesos mentales para pensar con LÓGICA, seguir instrucciones, verificar y concluir. Está es la clave del para qué sirven las identidades trigonométricas, si usted no tiene pensado ser matemático o profesionalizarse en algun conocimiento que lo requiera. Lo que sí es claro es que la lógica matemática la va a necesitar en toda su vida.
Compare ahora lo anterior con el pedir que la expresión tangente (tan) la reemplace por seno/coseno (sen / cos) y aplique la propiedad del inverso multiplicativo que dice: al multiplicar un número (que no sea cero) por su inverso multiplicativo, se obtiene la unidad. Por ejemplo: al multiplicar 5 por su invesrso multiplicativo que es 1/5 se obtiene 5/5 = 1
Esto quiere decir que al multiplicar seno por 1/seno se obtiene 1. Aclaro que no estoy escribiendo el ángulo para tener mayor comodidad con lo explicado.
De acuerdo con esto, la expresión Coseno .Tangente queda así
Coseno (Tangente)
Coseno (Seno / Coseno) Recordemos que Tan(x)=Sen(x)/Cos(x)
(Coseno) (Seno )(1/ Coseno) Recuerde que a/b= a (1/b)
(Coseno) (1/Coseno) (Seno ) Conmutando
. (1) (Seno/1) Inverso multiplicativo
Seno
Es necesario aclarar aquí que la identidad se forma cuando afirmamos que
Cos(x) Tan(x) = Sen(x)
Es decir que la expresión inicial es equivalente a la expresión final para cualquiera de los valores de x. Cabe señalar que no se cumple cuando Cos(x)=0, es decir para ningún
x ={90,270, 450, ... (2n-1)} ya que si el coseno se hace cero, la tangente tiende al infinito por la izquiera y a menos infinito por la derecha del 90º.
El conjunto x ={90,270, 450, ... (2n-1)} tiene su término n-esimo igual a 2n-1 porque al reescribirlo como sigue
x ={90(1), 90(3), 90(5), 90(7), ... (2n-1)} para n={1,2,3,4, ...} se obtienen valores variables (en rojo) equivalentes a la secuencia de los números impares.
Recuerde que Cos(90)=0, que Cos(270)=0, y así sucesivamente. Por eso se habla de la sucesión anterior.
Nótese que 90, 270, 450, 540... son múltiplos del 90 pero no en la secuencia normal 90, 180, 270, 360, 450, 540, ... sino de manera alterna, condición que cumplen los números impares.
Al resolver algunas identidades, estas restricciones de valor no se hacen con frecuencia pero es necesario tenerlas en la cuenta.
Problema 3: Siguiendo los pasos del ejemplo anterior, demuestre que Cos(x) Tan(x) = Sen(x).
Cuando se resuelven identidades trigonométricas se debe tener habilidad en las propiedades con números reales, procesos algebraicos y estar familiarizado con la simplificación de expresiones.
Para resolver la siguiente identidad, es necesario conocer que (a+b)²= a²+2ab +b², ya que algunos estudiantes con frecuencia sólo escriben a² + b², situación que se cumple para algunos valores de a y b y NO para todos los valores de a y b. En esto radica la diferencia entre igualdad e identidad.
Como lo vimos con el problema anterior, no creo que esto de sustituir palabras con una condición o varias, sea de utilidad. Aclaro que estos métodos son usados para encriptar información a la hora de hablar de seguridad en los documentos escritos.
Es evidente que seguir estas condiciones, como el ejercicio de (Consuegra) , hace que usted inicie una serie de procesos mentales para pensar con LÓGICA, seguir instrucciones, verificar y concluir. Está es la clave del para qué sirven las identidades trigonométricas, si usted no tiene pensado ser matemático o profesionalizarse en algun conocimiento que lo requiera. Lo que sí es claro es que la lógica matemática la va a necesitar en toda su vida.
Compare ahora lo anterior con el pedir que la expresión tangente (tan) la reemplace por seno/coseno (sen / cos) y aplique la propiedad del inverso multiplicativo que dice: al multiplicar un número (que no sea cero) por su inverso multiplicativo, se obtiene la unidad. Por ejemplo: al multiplicar 5 por su invesrso multiplicativo que es 1/5 se obtiene 5/5 = 1
Esto quiere decir que al multiplicar seno por 1/seno se obtiene 1. Aclaro que no estoy escribiendo el ángulo para tener mayor comodidad con lo explicado.
De acuerdo con esto, la expresión Coseno .Tangente queda así
Coseno (Tangente)
Coseno (Seno / Coseno) Recordemos que Tan(x)=Sen(x)/Cos(x)
(Coseno) (Seno )(1/ Coseno) Recuerde que a/b= a (1/b)
(Coseno) (1/Coseno) (Seno ) Conmutando
. (1) (Seno/1) Inverso multiplicativo
Seno
Es necesario aclarar aquí que la identidad se forma cuando afirmamos que
Cos(x) Tan(x) = Sen(x)
Es decir que la expresión inicial es equivalente a la expresión final para cualquiera de los valores de x. Cabe señalar que no se cumple cuando Cos(x)=0, es decir para ningún
x ={90,270, 450, ... (2n-1)} ya que si el coseno se hace cero, la tangente tiende al infinito por la izquiera y a menos infinito por la derecha del 90º.
El conjunto x ={90,270, 450, ... (2n-1)} tiene su término n-esimo igual a 2n-1 porque al reescribirlo como sigue
x ={90(1), 90(3), 90(5), 90(7), ... (2n-1)} para n={1,2,3,4, ...} se obtienen valores variables (en rojo) equivalentes a la secuencia de los números impares.
Recuerde que Cos(90)=0, que Cos(270)=0, y así sucesivamente. Por eso se habla de la sucesión anterior.
Nótese que 90, 270, 450, 540... son múltiplos del 90 pero no en la secuencia normal 90, 180, 270, 360, 450, 540, ... sino de manera alterna, condición que cumplen los números impares.
Al resolver algunas identidades, estas restricciones de valor no se hacen con frecuencia pero es necesario tenerlas en la cuenta.
Problema 3: Siguiendo los pasos del ejemplo anterior, demuestre que Cos(x) Tan(x) = Sen(x).
Cuando se resuelven identidades trigonométricas se debe tener habilidad en las propiedades con números reales, procesos algebraicos y estar familiarizado con la simplificación de expresiones.
Para resolver la siguiente identidad, es necesario conocer que (a+b)²= a²+2ab +b², ya que algunos estudiantes con frecuencia sólo escriben a² + b², situación que se cumple para algunos valores de a y b y NO para todos los valores de a y b. En esto radica la diferencia entre igualdad e identidad.
(a+b)² siempre es equivale a a²+2ab +b² y (a+b)² en algunos casos equivale a a² + b²
Problema 4: Para qué valor o valores de a y b es (a+b)²= a²+ b²?
Respuesta: para los casos en donde una de las dos variables o ambas son cero. Ejemplarice esto con a=2 y b=0 ó a=0 y b=5
El problema 4 sirve para comprender que (a+b)²= a²+2ab +b² se cumple para cualquier valor de a y b, así como también (a+b) ³ = a³ +3a²b + 3ab² + b³.
problema 5: Demuestre que ( Sen(x) + Cos(x) )² = 1+2Sen(x)Cos(x)
Para la solución del problema 5 es necesario tener en cuenta que Sen²(x) + Cos²(x) = 1 y que a suma permite conmutar.
Problema 6: Demuestre que ( Sen(x) - Cos(x) )² = 1-2Sen(x)Cos(x)
Para la solución del problema 6 tenga en cuenta la sugerencia del problema 5.
Problema 7: ¿Qué se obtiene al multiplicar Csc(x) con Sec(x) ?
Recuerde identificar las identidades por definición y las identidades inversas multiplicativas de éstas.
Problema 8: Demuestre que Sen²(x) - Cos²(x) = 1-2Cos²(x)
Problema 9: Demuestre que Sen²(x) - Cos²(x) = Sen²(x)-1
Problema 10: Convierta la expresión Tan(x) + Cot(x) en términos de Seno y Coseno y con la respuesta final construya una identidad.
Problema 11: Demuestre que Csc²(x) + Sec²(x) = Csc²(x) Sec²(x)
Problema 12: Simplifique la expresión Sen(x+30º)
Problema 13: Simplifique la expresión Cos(x-120º)
Problema 14: Simplifique la expresión Cos²(x+300º)
Problema 15: Calcular Sen( x+ 50Sen(30) + 5 )
Problema 16: Si Sen(A)=3/4 y Cos(B) = -1/5 calcular Sen( A+B ) con los ángulos A y B en el segundo cuadrante.
Problema 17: Si Cos(x)= 0,999 calcular Cos(x/2)
Problema 18: Si Cos(x)= 0,999 calcular Sen(x/2)
Problema 19: Simplifique la expresión ( Sen(x) + Cos(x) )³. Nota: escríbala en término de una sola función.
Problema 20: ¿A qué es idéntico o equivalente Sen(5x)?
Algo importante para tener en cuenta:
[1.1]
Similarly we compute the sine of nx from the sines of (n-1)x and (n-2)x
[1.2]
For the tangent, we have:
[1.3]
where H/K=tan (n-1)x
Tomado de http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm
Realizar el problema que aparece en el Taller de recuperación del II periodo acerca de desviación y promedios de los estudiantes.
Fin
Problema 4: Para qué valor o valores de a y b es (a+b)²= a²+ b²?
Respuesta: para los casos en donde una de las dos variables o ambas son cero. Ejemplarice esto con a=2 y b=0 ó a=0 y b=5
El problema 4 sirve para comprender que (a+b)²= a²+2ab +b² se cumple para cualquier valor de a y b, así como también (a+b) ³ = a³ +3a²b + 3ab² + b³.
problema 5: Demuestre que ( Sen(x) + Cos(x) )² = 1+2Sen(x)Cos(x)
Para la solución del problema 5 es necesario tener en cuenta que Sen²(x) + Cos²(x) = 1 y que a suma permite conmutar.
Problema 6: Demuestre que ( Sen(x) - Cos(x) )² = 1-2Sen(x)Cos(x)
Para la solución del problema 6 tenga en cuenta la sugerencia del problema 5.
Problema 7: ¿Qué se obtiene al multiplicar Csc(x) con Sec(x) ?
Recuerde identificar las identidades por definición y las identidades inversas multiplicativas de éstas.
Problema 8: Demuestre que Sen²(x) - Cos²(x) = 1-2Cos²(x)
Problema 9: Demuestre que Sen²(x) - Cos²(x) = Sen²(x)-1
Problema 10: Convierta la expresión Tan(x) + Cot(x) en términos de Seno y Coseno y con la respuesta final construya una identidad.
Problema 11: Demuestre que Csc²(x) + Sec²(x) = Csc²(x) Sec²(x)
Problema 12: Simplifique la expresión Sen(x+30º)
Problema 13: Simplifique la expresión Cos(x-120º)
Problema 14: Simplifique la expresión Cos²(x+300º)
Problema 15: Calcular Sen( x+ 50Sen(30) + 5 )
Problema 16: Si Sen(A)=3/4 y Cos(B) = -1/5 calcular Sen( A+B ) con los ángulos A y B en el segundo cuadrante.
Problema 17: Si Cos(x)= 0,999 calcular Cos(x/2)
Problema 18: Si Cos(x)= 0,999 calcular Sen(x/2)
Problema 19: Simplifique la expresión ( Sen(x) + Cos(x) )³. Nota: escríbala en término de una sola función.
Problema 20: ¿A qué es idéntico o equivalente Sen(5x)?
Algo importante para tener en cuenta:
Chebyshev Method
We compute the cosine for nx from the cosines of (n-1) and (n-2) as follows: [1.1]Similarly we compute the sine of nx from the sines of (n-1)x and (n-2)x
[1.2]For the tangent, we have:
[1.3]where H/K=tan (n-1)x
Tomado de http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula.htm
Estadística
Realizar el problema que aparece en el Taller de recuperación del II periodo acerca de desviación y promedios de los estudiantes.
Fin
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