COMASACA Grados 9º Taller para semana de Receso.

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RELACIONES Y FUNCIONES MATEMÁTICAS
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Buen tiempo queridos estudiantes. Desde acá de la sala de cómputo del colegio Compartir, que por cierto es muy agradable, voy escribiendo el taller que ustedes necesitan.

Propósito del taller: afianzar los procesos de clasificación de una función, de tal manera que las puedan usar para comprender e interpretar situaciones matemáticas que las requieren.

Para iniciar con las funciones, nos hemos remitido al concepto y definición de relación y función, claro está que desde la construcción que cada uno de ustedes hace en su cotidianidad.

Dijimos que una relación matemática es una asignación o correspondencia entre dos o más conjuntos en la cual a elementos del conjunto A, llamado de partida, se le asigna uno o varios elementos del conjunto B, llamado de llegada.

Un ejemplo de esto es la relación de orden que conocemos como "mayor que" y que se simboliza con ">". Busquemos todas las parejas (x,y) tales que x>y dado que x pertenezca al conjunto
A={ 1,2,3,4 } y y pertenezca al conjunto B={ 1,2,3} .

Podemos notar que la soclución a esto se obtiene seleccionando las parejas ordenadas que cumplan la condición, a partir de todas las parejas que se pueden obtener. Recordemos que este último conjunto es llamado producto cartesiano entre A y B, que se denota por AxB y es equivalente a: AxB={ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} y se muestra en la figura 4.


Nótese que es formar las parejas ordenadas donde la primera componente esté en A y la segunda esté en B. Ahora busquemos las parejas cuya primera componente sea menor a la segunda. Vemos que las parejas (1,2), (1,3) y (2,3) cumplen con la condición. Esta relación representada en un diagrama sagital sería como lo muestra la figura 5.


Es necesario observar que en el conjunto de partida sobran elementos, situación discriminatoria que usaremos más adelante para clasificar una función. Además, del elemento 1 salen dos asignaciones, situación definitoria a la hora hablar de relaciones y funciones.






Ejericicio1: halle las parejas ordenas (x,y), a partir del ejemplo anterior, que cumplen con:
(a) que x>y
(b) que x=y
(c) que y sea divisor de x.

Realice el diagrama sagital y haga la lista de las parejas. Responda en cada situación las siguientes preguntas:

-Sobran elementos en el conjunto de partida?
-Hay algún elemento en el conjunto de partida que tenga más de una asignación?



El interrogante ahora es, ¡cuándo una relación se convierte en función?

Una relación es función cuando a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del codominio. Cabe notar el significado estricto de las palabras en rojo "a cada" y "uno y sólo uno". Tranformemos esto en otros téminos con la intención de aclarar.

La asignación o correspondencia que se muestra en la figura es una función ya que Todos los elementos del conjunto de partida (el de la izquierda) tienen un correspondiente o imágen del conjunto de llegada (el de la derecha). Con esto se cumple la condición de "a cada" y también cumple que cada uno de éstos (1, 2 ó 3) tienen sólo una asignación o correspondencia, con esto se cumple con lo indicado por "uno y sólo uno". En resumen, se debe mirar que todos los elementos en el primer conjunto estén ocupados y que salga sólo una flecha de cada uno, es decir que tenga sólo una asignación. Esta otra manera de validar si es función o no lo es, pero en términos más coloquiales.

Es neceario notar que en la relación pueden sobrar elementos en el conjunto de partida y cualquier elemento puede tener más de una asignación, situación que NO ocurre en la función.

¡Qué pasa si en el conjunto de llegada o co-dominio sobra un elemento? Si cumple con la condición mencionada, sigue siendo función, pues todos los elementos en el dominio están ocupados y de cada uno sigue saliendo una sola flecha, tiene sólo una asignación.

Pregunta: Es la asignación de que se muestra en la figura 3 una función?


Sí, es función ya que cada elemento del dominio está usado o asignado y sólo una vez.

Verifiquemos que constantemente es el primer conjunto en el cual recae toda la tención, de allí que se llame Dominio. A este tipo de función que muestra la imagen se le conoce como función constante, pues siempre arroja el mismo valor.

Piensa en esto: 1 elevado a la cero da 1, que se escribe:
1°=1

2°=1 y

3°=1.

La letra f, que aparece en la gráfica, es la letra con la que se nombra la regla de asignación, que en este caso puede ser "elevar a la cero". Si elevas a la cero cada elemento del dominio siempre se obtiene 1. Esta recgla de asignación se puede expresar así: el conjunto de las parejas ordenadas (x,y) tales que y= x°. Para aplicarla procedemos así:

si x=1 entonces y= 1° o sea que y=1 y la pareja es (1,1)

si x=2 entonces y= 2° o sea que y=1 y la pareja es (2,1)

y por último si x=3 entonces y= 3° y la pareja es (3,1)

que finalmente se escribe como conjunto de la siguiente manera:

F ={ (1,1), (2,1), (3,1) }, o en su forma por comprensión F={ (x, y) con x A y y B: y=x° }.




Ejercicio 2: Sea A el conjunto dominio y B el codominio de una función f definida como sigue:

F={(x,y) / y=x+10 }, escribir el conjunto F de estas parejas (es decir por extensión), si A={3,4,5} y B={12,13,14,15} y responder:

(a) Es F una función. Para esto pregúntese si en A todos los elementos fueron ocupados y si cada elemento ocupado tiene sólo una asignación.
(b) Realice el diagrama sagital de f.
(c) Represente en el plano cartesiano la función f.

Clasificación de funciones

Como se ha visto, en las funciones pueden existir elementos del conjunto de llegada o codominio que no son imágen de un elemento del dominio o que no les "llega flecha", pero sigue siendo función. Al conjunto de los elementos del codominio que se ocupan de una función se le llama rango. Por ejemplo, el dominio de f en la gráfica es D={1,2,3} y el Codominio es C={5,10,15,20}, pero el rango o conjunto de elementos asignados es R={5,10,15}


Para clasificar las funciones haremos uso de diagramas sagitales en los cuales supondremos elementos como puntos diferentes. Analicemos las siguientes funciones y escribamos sus caracteristicas para luego clasificarlas.



Ejercicio 3: Escribamos una x en la columna donde la función cumple con la característica pedida:














Aquellas funciones que cumplen con la primera condición, se llaman inyectivas y las que cumplen con la segunda se llaman sobreyectivas. Aquellas que cumplen con las dos condiciones se llaman biyectivas.

Una recomendación para clasificarla como inyectiva es ubicarse en uno por uno de los elementos del codominio y escribir en un lado de ellos el número de flechas o asignaciones que tiene, cuando todo coinciden en una asignación, es inyectiva.

Nótese que si el codominio equivale al rango, es sobreyectiva.

En el ejercicio anterior, las funciones a, c y g son biyectivas.

Para mayor información consulte en línea:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica



Ojo, taller en construcción, continúa.....