La intención inicial era la de adquirir la habilidad cognitiva de despejar incógnitas en ecuaciones de variable lineal.
Para empezar recordamos las situaciones significativas de aprendizaje acerca del cobro del consumo de llamadas de un celular con dos planes que ofrecían las empresas A y B:
La empresa A ofrecía a $300 el minuto con un cargo básico de $10.000 y
la empresa B ofrecía a $250 el minuto con un cargo básico de $12.000. Construimos los modelos relaciones de función lineal que fueron:
A: C=300t + 10000
B: C=250t + 12000
Siendo C el costo en pesos y t el tiempo de la llamada en minutos.
De estas revisamos sus gráficas hechas a mano en clase y construidas con ayuda de Excel.
Para empezar recordamos las situaciones significativas de aprendizaje acerca del cobro del consumo de llamadas de un celular con dos planes que ofrecían las empresas A y B:
La empresa A ofrecía a $300 el minuto con un cargo básico de $10.000 y
la empresa B ofrecía a $250 el minuto con un cargo básico de $12.000. Construimos los modelos relaciones de función lineal que fueron:
A: C=300t + 10000
B: C=250t + 12000
Siendo C el costo en pesos y t el tiempo de la llamada en minutos.
De estas revisamos sus gráficas hechas a mano en clase y construidas con ayuda de Excel.
Luego nos remitimos a la situación que mencionaba una fotocopiadora donde por 500 copias cobrarban $25.000 y por 1000 sólo $40.000. El interrogante fue el de hallar el costo de sacar 2000 copias en esas condiciones.
Resaltamos la situación especial en la que se esperaba que por el doble de cantidad de copias cobraran también el doble, pero no fue así. Para esto, ustedes construyeron una tabla de valores, identificaron un patron de repetición y llegaron, la minoria, a la conclusión de ser $70.000 el valor buscado.
Algunos argumentaron que de 500 en 500 para el número de copias, aumentaba $15.000 para el valor, motivo por el cual para 1500 copias era de $55.000, para 2000 era $40.000, para 2500 era de $ 55.000 y para 2000, que es valor pedido, era de $70.000. Bien interesante la observación a partir del cálculo aritmético.
Buscamos entonces el modelo matemático (regla de asignación) o fórmula que relaciona a V con C. Como se había detallado que de 500 en 500 (Incremento del número de copias que llamaremos delta c) aumenta 15.000 (que es el delta V), la pregunta es para el aumento de 1 en 1. Se divide entonces 15.000 en 500 y se obtiene 30. Ahora, si multiplicamos 30 por 500 sólo nos dá 15.000, al cual le falta 10.000 para llegar al 25.000 que es el costo que propone el problema. Vemos entonces que la c se multiplica por 30 y se adiciona o suma 10.000, de aquí se obtiene la formula
Después de toda esta explicación, s epiensa que comprenden de lo que se habla y tienen ya la habilidad para aplicarlo, pero nos dimos cuenta que al preguntar: según este modelo matemático, ¿cuánto cobran por sacar una sola copia? Tardaron mucho en responder, algunos de ustedes decía que 30, otros que 10.000 y otros adivinaban sin acertar. Al cabo de un rato, sólo un estudiante responde que 10.030, valor numérico absurdo para la realidad, pero posible en lo matemático y que se explica como el uso de ese modelo solo para cantidades de copias mayores de 500.
Luego vimos como se calculaba para responde a la pregunta: para una copia se reemplaza c por 1 y se obtiene:V = 30c + 10.000.
Después de toda esta explicación, s epiensa que comprenden de lo que se habla y tienen ya la habilidad para aplicarlo, pero nos dimos cuenta que al preguntar: según este modelo matemático, ¿cuánto cobran por sacar una sola copia? Tardaron mucho en responder, algunos de ustedes decía que 30, otros que 10.000 y otros adivinaban sin acertar. Al cabo de un rato, sólo un estudiante responde que 10.030, valor numérico absurdo para la realidad, pero posible en lo matemático y que se explica como el uso de ese modelo solo para cantidades de copias mayores de 500.
Si c=1 entonces V=30(1) + 10.000
............................ V= 30 + 10.000
............................ V= 10.030
La respuesta para 2000 copias se calcula mediante la expresión:
Si c= 2000 entonces V=30(2000) + 10.000
..................................... V= 60.000 + 10.000
..................................... V= 70.000
Luego surge el interrogante de averiguar el número de copias que se sacaron si se pagaron $28.000, situación en la que sólo un estudiante respondió de manera argumentada (plantenado ecuación:
Si V=28000 entonces la ecuación de dos incógnitas V=30c+10000 queda de una sola, así:
...........................V=30c+10000
...............28.000 = 30c+10.000
28.000-10.000 = 30c
...............18.000 = 30c
............18.000/3 = c
.....................600 = c
Entonces, el número de copias cuyo valor de 28.000 en esas condiciones es de 600 copias.
Ejercitación.
I. Hallar el valor de la incógnita dada, a partir del otro valor dado:
1) x+y=5 si x=3
2) x-2y = 6 si y=-2
3) v=300c-500 si c=300
4) 2(x-1) + 3(3-y) = 100 si x=-5
II. Una empresa de confites ofrece 5 bolsas de bombones por un valor total de $15.000 y 10 bolsas por $25.000. En esas mismas condiciones, ¿cuánto se debe pagar por 15 bolsas?
En el problema de las copias, la variación de c era de 500 ya que de 500 en 500 varia 15.000 para el precio. La variación de c se escribe ⌂c y en este caso ⌂c=500 y ⌂V=15.000
III. Indique el valor de ⌂b y ⌂P para el problema II, calcule luego ⌂P/⌂b, ¿qué concluyes?
IV. Un vehículo recorre 40 metros en 5 segundos y 80 metros en sólo 8 segundos, ¿en estas misma condiciones cuantó tiempo tarda en recorrer 120 metros? Realice la tabla de valores, grafique, halle ⌂distancia/⌂tiempo y relaciones este valor con la respuesta obtenida.
La solución de los problemas anteriores hacen ver la necesidad de la habilidad cognitiva en los procesos algebraicos y despeje en ecuaciones. Para esto, reforcemos en lo último:
V. Despeje la incógnita indicada en cada ecuación:
1) x en x+3=10
2) y en x+y=100
3) m en 3m-2n =m+5
4) a en ab+c=d
5) x en 1/x + 1/y = 10
6) x en ax+bx= c
7) y en y(y-1) +x = 4- x
8) h en (h+1)² = h²
9) p en p(p-1)= p(p+1) -5q
10) f en f/(f+1) = 3
En las SSIGAs anteriores vimos como se repetían algunas estructuras, por ejemplo:
- V=300c+10000 celulares, minuto a 300 y cargo básico de 10000
- V=250c+12000 celulares, minuto a 250 y cargo básico de 12000
- C=30c+15000 Copias, valor de cada una 30 y cobro constante de 15000
y algunas con las cuales nos encontraremos como:
- X=80t+300 Distancia X, velocidad 80 de un vehiculo que sale de un punto ubicado a 300 metros del punto de salida.
- Q= mC⌂T Calor Q final de una sustancia, concida su variación de temperatura y el coeficiente de dilatación C.F= m.a Fuerza necesaria para mover un cuerpo de masa m, de tal manera que experimente una aceleración a.
Notemos que las variables que se relacionan no tienen exponente mayor a 2, todas tienen exponente de uno, aunque no se les escribe, pues recuerde que por conveniencia de escritura:
Estas reglas de asignación son lineales, una magnitud o variable está en función de la otra o se puede escribir en función de la otra. Esta habilidad de despejar una incógnita en una ecuación ya debe estar aprehendida. Ahora veremos la manera de escribior una expresión en su forma explícita, identificar algunas de sus caractéristicas gráficas y relacionarlas con otras funciones.
Las ecuaciones anteriormente mencionadas tienen una variable despejada que depende de otra. A la que está despejada le llamaremos variable dependiente y la que no, llamaremos independiente. Por ejemplo para el caso de C=300t+10000, la variable dependiente es C y la independiente es t. Nótese que hay valores constantes como 300 y 10000, el 300 es el coeficente del término lineal (t está elevado a la 1) y 10000 es el termino constante o independiente del término lineal, pues no tiene t.
x¹ = x
Estas reglas de asignación son lineales, una magnitud o variable está en función de la otra o se puede escribir en función de la otra. Esta habilidad de despejar una incógnita en una ecuación ya debe estar aprehendida. Ahora veremos la manera de escribior una expresión en su forma explícita, identificar algunas de sus caractéristicas gráficas y relacionarlas con otras funciones.
Las ecuaciones anteriormente mencionadas tienen una variable despejada que depende de otra. A la que está despejada le llamaremos variable dependiente y la que no, llamaremos independiente. Por ejemplo para el caso de C=300t+10000, la variable dependiente es C y la independiente es t. Nótese que hay valores constantes como 300 y 10000, el 300 es el coeficente del término lineal (t está elevado a la 1) y 10000 es el termino constante o independiente del término lineal, pues no tiene t.
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