COMASACA, Grado 9 Tarde Periodo II Sistemas de Ecuaciones

Fase Afectiva

Propósitos

Afectivo: mostrar interes por la exploración del tema.
Cognitivo: Resolver sistemas de ecuaciones mediante los métodos explicados.
Expresivo: hacer uso del lenguaje.

Motivación.

"Érase una vez un niño alemán llamado Carl Friedrich Gauss. Cuando tenía diez años, en 1787, su profesor de la escuela, enfadado porque sus alumnos se portaban mal, le puso un problema matemático al pequeño Carl y a sus compañeros.

Los niños debían sumar todos los números del 1 al 100; es decir, 1+2=3; 3+3=6: 6+4=10; 10+5=15; 15+6=21 y así sucesivamente hasta sumar los 100. El profesor se sentó en su silla a leer el periódico, confiaba en que tendría horas hasta que los niños sumaran todos los números. Sin embargo, el pequeño Gauss no tardó ni cinco minutos en ir hacia el profesor y darle el resultado: 5050. ¿Cómo lo había hecho?".

Tomado de: http://lasmentesinquietas.blogspot.com/2007/06/matemticas-la-suma-de-gauss.html

Una pequeña ayuda para que lo soluciones.

La anécdota anterior invita a pensar en la estrategia que Gauss uso para dar la respuesta de manera rápida y acertada. Sumar de uno en uno los números naturales desde el 1 hasta el 100, no era tarea sencilla. La sospecha es que este método no fue el que él utilizó. Puedes verlo si te propones a solucionar una situación de menor tamaño, como la suma de los números sólo hasta el 10 :

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10

Gauss no sumo el 1 con el 2 y luego este resultado con 3, pues le tomaría mucho tiempo. Tuvo que abreviar este proceso mediante una salida muy creativa. ¿Será que sumo los pares y luego los impares?

(1+3+5+7+9) + (2+4+6+8+10)

Al parecer no, porque terminamos en la misma situación, sumar de uno en uno.

¿Qué fue lo que hizo?

La sospecha es que debió organizarlos de alguna manera que le resumiera este camino, pero ¿cómo?

Piensa ahora en diez persona, a las cuales les has dado los números del 1 al 10. Pídeles que se organicen en grupos, pero escogelo de tal manera que al sumarlos, estos resultados sean faciles de sumar. ¿Cómo los agrupas? ¿En ternas, grupos de 4 o parejas? ¡Piensa!

Opta por agruparlos en parejas, pero no cualquiera, busca aquellas que te faciliten el camino a la solución, así te darás cuenta cómo lo hizo Gauss. Hasta aquí la ayuda. Espero que lo soluciones.

Mira este ejemplo de una forma creativa de dar solución a una suma de números que se generan con una formula: sumemos los números:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 y 1024.

Nótese que se obtienen multiplicando el anterior término por dos.

Digamos que el resultado de la suma se almacena (asigna) a la letra S, es decir que:

S = 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 32+ 64+ 128+ 256+ 512+1024

Multipliquemos por 2 ambos lados de la igualdad:

2 S= 2(1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 32+ 64+ 128+ 256+ 512+1024)

2 S= 2+ 4+ 8+ 16+ 32+ 64+ 128+ 256+ 512+1024+2048

Ubicando ahora la suma inicial debajo de la suma final podemos observar que:

primera suma 2 S= 0+ 2+ 4+ 8+ 16+ 32+ 64+ 128+ 256+ 512+1024+2048
Segunda suma 1 S= 1+2+ 4+ 8+ 16+ 32+ 64+ 128+ 256+ 512+1024 + 0

Restando de la primera suma, la segunda se obtiene:

2S-1S=(0-1)+(2-2)+(4-4)+(8-8)+....+(1024-1024)+(2048-0)
1S=-1+0+0+0+...+0+2048
S=2048-1
S=2047

Prueba ahora sumando los siguientes números: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187 y 6561.

Fase Cognitiva.

Esta anécdota te invita a pensar en los problemas de tal manera que sean para tí una diversión, que disfrutes solucionándolos y adquieras habilidades de pensamiento en este proceso, sobre todo en lo que se refiere a creatividad.