Como vimos en la clase, el número pi es la relación que existe entre el perímetro de una circunferencia y su diametro (la circunferencia puede ser de cualquier tamaño). Recordemos que la palabra relación hace referencia a división y sirve para comparar dos cantidades, en este caso perímetro y diametro.
Como se puede ver en la imagen, en el perímetro de la circunferencia caben tres diametros y un poco más, es decir 3,14159....
Como el diametros equivale a dos radios (D=2r) se obtiene:
Despejando p se obtiene:
Dejando r a la derecha:
Situación Significativa de Aprendizaje
SSigA
SSigA
Una persona viaja por el perímetro de un círculo de radio 10m. ¿Qué distancia recorre?
Solución:
Los datos que tenemos son:
r=10m
D=2r (Diametro equivale al doble del radio)
D=2(10m) = 20m.
Como:
p/D=π
Entonces:
p/2(10m) = 3,14. Que es una ecuación donde la única incógnita es p, que se debe despejar.
Despejando p se obtiene:
p= 2(10m)(3,14)
p=20m(3,14)
p= 62,8 m. aproximadamente, ya que se asumió π =3,14 como un valor aproximado.
A manera de conclusión, se obtiene un poco más del triple del diametro o mejor un poco más de seis veces el radio.
Actividad: Recuerde realizar los esquemas, dibujos y procesos pertinentes.
1. El radio terrestre (ecuatorial) es de aproximadamente 6371km. ¿Cuál es el perímetro ecuatorial de la Tierra?
2. Se conoce que la Tierra sigue una trayectoria elíptica y NO circular al rededor del Sol. Si asumimos que esta trayectoria es casi circular y que la distancia al Sol es de aproximadamente 150.000.000Km, ¿qué distancia recorre la tierra al rededor del Sol, en un año?
3. La longitud de una pista circular es de 245 metros. ¿Cuál es la longitud de su radio?
4. Dos personas A y B parten del mismo punto de una circunferencia y llegan de manera simultánea al lado extremo, uno viaja en línea recta por el diámetro y el otro por el perímétro. Conociendo que la velocidad es la relación (división) entre el desplazamiento (en linea recta) y el tiempo empleado ( en este caso un tiempo "t"), ¿cómo están relacionadas la velodidades de las dos personas? Ayuda: la velocidad de A (Va) se calcula mediante la ecuación:
Va= Xa.t donde Xa es el desplazamiento de A. De manera simultánea para B:
Vb=Xb.t
se debe calcular entonces Va/Vb.
5. Un vehículo, que viaja a 72km/h, da una vuelta completa a una pista circular en tan sólo 5 minutos:
a) ¿Qué distancia recorrió?
b) ¿A qué distancia del centro de la pista estuvo?
6. ¿Cómo calcular el área de un círculo?
Una de las formas es dividiendola en partes iguales y asumir cada una de éstas como una figura aproximada a un triángulo. En la imagen se muestra la circunferencia de radio r dividida en ocho partes iguales. A la derecha la imagen de uno de los triángulos que se obtuvo. La base se asume recta y de longitud equivalente a la octava parte del perímetro (2πr/8, ver en color verde). La altura se asume equivalente al radio r (color azul). Como el área de un triángulo equivale al semiproducto de la base con la altura, para este caso se tiene que el triángulo tiene área de:
Como hay 8 de esos triángulos en la figura, entonces el área del círculo es Ac:
Ac= 8(π r²/8)
Cancelando 8 con 8 se tiene que:
Ac=π r²
Realice este mismo ejercicio dividiendo la circunferencia en 10 partes iguales, muestre el proceso y haga uso de representaciones gráficas.
7. Calcular el área de un círculo cuyo radio mide 1m.
8. El perímetro de un círculo es de 2,54 cm. Calcular su área.
9. Se quiere cubrir una piscina de radio 5m, con un tapete cuyo metro cuadrado cuesta $5.000. ¿Cuál es el costo de éste tapete?
10. ¿Qué le sucede a la medida del perímetro y área de un círculo si su radio inicial de 1m se duplica?
11. Un cilindro de papel tiene un diámetro de 8cm y una altura de 5cm. Al realizar el plegado para construirlo se obtienen dos círculo y un rectángulo. Calcular el área de cada figura (llamada área superficial). Nótese que el largo del rectángulo rojo equivale al perímetro de su base circular.
12. Una mesa circular de radio r es cubierta por un mantel cuadrado cuyo lado mide 2r, ¿qué cantidad de mantel sobra?
13. Se dice que un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia cuando sus vértices están sobre esta.
Por ejemplo, en la imagen de arriba, la figura 1 muestra un cuadrilátero inscrito, situación que no se representa en la figura 2, ya que uno de sus vértices está por fuera.
Un cuadrado está inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. Calcular el área del círculo que lo contiene. Realizar el dibujo mediante construcción haciendo uso de regla y compás.
14. Sobre los lados de un triángulo equilátero de perímetro 24cm, se construyen semicírculos que coinciden con los vértices. Calcular el área de la figura sin tener en cuenta el triángulo.
15. El volumen de un cilindro se calcula mediante el producto del área de su base (circular) y su altura.
Calcular el volumen de un cilindro cuya base tiene un radio de 1m y su altura mide 2m.
15. Por el orificio de un recipiente cilíndrico salen 2 litros (1 litro equivale a 1000cm³) de agua por minuto. Cuánto tiempo tarada en vaciarse si está lleno de agua, tiene radio de longitud 10 cm y altura 1 metro?
16. El volumen de un cono se calcula mediante la expresión:
¿Cuál es el valor numérico del volumen de un cono cuya base tiene un radio de 10 cm y su altura 15 cm?
Va= Xa.t donde Xa es el desplazamiento de A. De manera simultánea para B:
Vb=Xb.t
se debe calcular entonces Va/Vb.
5. Un vehículo, que viaja a 72km/h, da una vuelta completa a una pista circular en tan sólo 5 minutos:
a) ¿Qué distancia recorrió?
b) ¿A qué distancia del centro de la pista estuvo?
6. ¿Cómo calcular el área de un círculo?
Una de las formas es dividiendola en partes iguales y asumir cada una de éstas como una figura aproximada a un triángulo. En la imagen se muestra la circunferencia de radio r dividida en ocho partes iguales. A la derecha la imagen de uno de los triángulos que se obtuvo. La base se asume recta y de longitud equivalente a la octava parte del perímetro (2πr/8, ver en color verde). La altura se asume equivalente al radio r (color azul). Como el área de un triángulo equivale al semiproducto de la base con la altura, para este caso se tiene que el triángulo tiene área de:
Como hay 8 de esos triángulos en la figura, entonces el área del círculo es Ac:
Ac= 8(π r²/8)
Cancelando 8 con 8 se tiene que:
Ac=π r²
Realice este mismo ejercicio dividiendo la circunferencia en 10 partes iguales, muestre el proceso y haga uso de representaciones gráficas.
7. Calcular el área de un círculo cuyo radio mide 1m.
8. El perímetro de un círculo es de 2,54 cm. Calcular su área.
9. Se quiere cubrir una piscina de radio 5m, con un tapete cuyo metro cuadrado cuesta $5.000. ¿Cuál es el costo de éste tapete?
10. ¿Qué le sucede a la medida del perímetro y área de un círculo si su radio inicial de 1m se duplica?
11. Un cilindro de papel tiene un diámetro de 8cm y una altura de 5cm. Al realizar el plegado para construirlo se obtienen dos círculo y un rectángulo. Calcular el área de cada figura (llamada área superficial). Nótese que el largo del rectángulo rojo equivale al perímetro de su base circular.
12. Una mesa circular de radio r es cubierta por un mantel cuadrado cuyo lado mide 2r, ¿qué cantidad de mantel sobra?
13. Se dice que un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia cuando sus vértices están sobre esta.
Por ejemplo, en la imagen de arriba, la figura 1 muestra un cuadrilátero inscrito, situación que no se representa en la figura 2, ya que uno de sus vértices está por fuera.
Un cuadrado está inscrito en una circunferencia de radio 10 cm. Calcular el área del círculo que lo contiene. Realizar el dibujo mediante construcción haciendo uso de regla y compás.
14. Sobre los lados de un triángulo equilátero de perímetro 24cm, se construyen semicírculos que coinciden con los vértices. Calcular el área de la figura sin tener en cuenta el triángulo.
15. El volumen de un cilindro se calcula mediante el producto del área de su base (circular) y su altura.
Calcular el volumen de un cilindro cuya base tiene un radio de 1m y su altura mide 2m.
15. Por el orificio de un recipiente cilíndrico salen 2 litros (1 litro equivale a 1000cm³) de agua por minuto. Cuánto tiempo tarada en vaciarse si está lleno de agua, tiene radio de longitud 10 cm y altura 1 metro?
16. El volumen de un cono se calcula mediante la expresión:
¿Cuál es el valor numérico del volumen de un cono cuya base tiene un radio de 10 cm y su altura 15 cm?
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