COMASACA, Grado 9°, solución al taller sobre Espacio Muestral. Mañana.

1. ¿Cuántos números de 2 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 3, 5 y 7?

Solución: Se puede hace la lista de los números, de manera ordenada, haciendo uso de un diagrama de árbol así:

Nótese que la primera columna de números son las posibilidades para el primer dígito y que la segunda columna son las posibilidades para el segundo dígito. Cabe aclarar que al escoger un número para la primera casilla, se tienen 4 posibilidades, ya después sólo se tienen 3 posibilidades. En consecuencia se tienen 4(3)=12 posibles números de dos cifras. El espacio muestral es:

Em={(1,3), (1,5), (1,7), (3,1), (3,1), (3,5), (3,7), (5,1), (5,3), (5,7), (7,1), (7,3), (7,5)}

2. Se dispone de 4 frutas diferentes ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá prepararse con estas frutas?

Solución: De acuerdo con el enunciado del problema y desde el sentido común, se supone que pueden hacerse jugos de 4 frutas, de 3 frutas, de 2 frutas y de una sola fruta. Basta con calcular la cantidad de jugos para cada una de estas situaciones.

Jugos de 4 frutas: es lógico que se puede hacer sólo un jugo, ya que si las frutas son, por ejemplo, mango(m), papaya(p), guayaba(g) y guanabana(u), cualquier orden da como resultado el mismo jugo. Tenga en cuenta esto para establecer la diferencia entre combinación y permutación

Jugos de 3 frutas: sigamos el mismo ejemplo del problema anterior. Hagamos uso de un diagrama de árbol. Recuerde que ya con la práctica, usted puede omitir este esquema.

Para seleccionar la primera fruta hay cuatro opciones, para la segunda fruta sólo tres opciones y en la tercera fruta dos opciones. Como estos eventos ocurren uno deguido del otro (dependientes), el total de opciones es 4(3)(2)=24, pero como el orden es importante, ya que por ejemplo el jugo:

mpu es el mismo

mup

pmu

pum

ump y

upm,

estos seis se cuentan como uno solo, es decir que de los 24, se repiten en seis grupos, por consiguiente sólo se obtienen 24/6 = 4 jugos posibles.

Jugos de 2 frutas: de igual manera se tienen cuatro frutas para la primera opción y tres frutas para la segunda opción, o sea 4(3)=12 opciones, pero el jugo up es el mismo pu, por consiguiente se repiten en parejas, de tal manera que las 12 posibilidades, sólo la mitad es correcta: 12/2= 6 jugos diferentes.

Jugos de 1 fruta: se tienen cuatro opciones, es decir 4 jugos diferentes.

Al sumar estos resultados se obtiene: 1+4+6+4=15 jugos posibles.

3. Se desea formar un comité de 7 estudiantes seleccionando 4 mujeres y 3 hombres de un grupo de 8 mujeres y 6 hombres.¿De cuántas maneras podrá seleccionarse?

Solución: es necesario reconocer que el orden no importa, que si los seis hombres son h1, h2, h3, h4, h5 y h6 y se escogen para el primer comité h2,h4 y h6, estos tres son los mismos en cualquier orden. Lo crucial es buscar las formas diferentes de escoger 3 hombres de un grupo de 6 hombres, que serían 6 opciones para la primera persona, 5 opciones para la segunda y 4 opciones para la tercera persona hombre, al parecer son 6(5)(4)= 120 opciones, pero como se repiten en seis grupos, salen 120/6=20 grupos posibles de hombres.

De igual maenra para las mujeres sería 8(7)(6)(5)= 56(30)= 1680, pero cada grupo se repite 24 veces ¿por qué?. Significa que se pueden escoger grupos de mujeres de 1680/24=70.

Ahora, al combinar los grupos de hombre y mujeres se obtienen 20(70)= 1400 opciones.

4. ¿Cuántos números de 3 cifras que sean impares, se pueden escribir con los dígitos: 4, 5, 7, 9 y 8, si no se pueden repetir los dígitos?

5. ¿De cuántas formas se pueden ubicar en una fila de 7 asientos a 3 hombres y 4mujeres, si estas deben ocupar los lugares impares?6. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes existen?
7. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo menos un 6 en su escritura?
8. Con 10 sumandos diferentes ¿Cuántas sumas distintas de 4 sumandos se podrán efectuar?
9. De seis números positivos y 5 números negativos, se escogen 4 números al azar y se multiplican. Calcular el número de formas que se pueden multiplicar, de tal manera que el producto sea positivo.

10. En un torneo de ajedrez participan 10 jugadores,¿cuántas partidas se jugarán si cada jugador juega contra todos los demás?
11. En un examen un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas. ¿De cuántas formas diferentes puede seleccionarlas, si debe responder, por lo menos, tres de las cinco primeras preguntas?
12. El servicio de inteligencia de cierto país, desea enviar mensajes a sus agentes secretos. Solo quiere utilizar las siguientes letras: V, A, M, P, I, R, O. ¿Cuántas palabras pueden formarse si ninguna letra puede repetirse?
13. La selección chilena juvenil de voleibol está conformada por 12 chicas. ¿De cuántas formas puede conformar un equipo de 6 si se sabe que 2 chicas se niegan a jugar al mismo tiempo?
14. Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las cuatro chicas quieren estar juntas?
15. La tripulación de un bote es de 10 hombres, cuatro solamente pueden remar a babor y tres a estribor. ¿De cuántas formas se pueden distribuirse para remar, si cinco hombres deben ubicarse a cada lado para mantener el equilibrio del bote?