COMASACA, TARDE, Taller Recuperación, GRADO 11-1 Y 11-2, Cálculo y Estadística

Taller de nivelación Matemáticas Grado 11

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Fecha de entrega: Lunes 01 de agosto de 2011

Tema: Límites de funciones.

Criterios par la Presentación del trabajo: en hojas blancas (no cuadriculadas) tamaño carta u oficio, enunciado de la pregunta seguido de la respuesta que puede ir a lapicero o lápiz, pero la solución debe ir a lápiz. Puede escribir por ambas caras de la hoja. Por favor numerar las hojas al pie de página a mano para efectos de organización y buena presentación.

Actividad 1: Despejar X en cada caso.

a) x+2=3

b) x-2=3

c) 2x=8

d) 3x-1=13

e) x+a=c

f) x-a=c

g) ax+b=c

h) ax-b=c

i) (ax+1)/(1-ax)=1/1

j) 1/x + 1/2 = 3

Actividad 2: Graficar por medio de una tabulación, recomiendo de -5 a +1.

a) f(x)= 2x-1

b) f(x)=x²

c) f(x)=3x

d) f(x)= x / (x-9) En esta tenga en cuenta que el valor crítico es 9, tabule desde -4 a 13.

Actividad 3: Factorizar.

1) ax+bx+cx Solución x(a+b+c)

2) ax-bx

3) 4x+2

4) 3x+3y

5) 2x-2y

6) mn+n

7) ax²+bx

8) 4xy-8xy

9) x²-x³-x

10) x²-x³

11) 10x²-5x³

12) x(x-1) + y(x-1)

13) a(m+n) -b(m+n)

14) ax-bx +m(a-b)

15) y²-y +a(y-1)

16) y²-y +a(1-y)

17) ax-by +mx-my

18) x²+3x +2x +6........

19) y²+7y-2y-14

20) x²-5x+6 (convertir -5x en -3x -2x y factorizar por agrupación)

21) m²-7m-30.............

22) x²-1..........

23) m²-16...........

24) h²-144..............

25) 9k²-1 .........

26) 100-z²...........

27) (m)²-(m-a)²...............

28) x²+6x+9

29) y²-10y+25...............

30) a²-2ab+b²................

31) 4p²+4p+1........

32) 9y²+12y+4

Actividad 4: Realizar los siguientes productos, recuerde simplificar.

1) x(x+1)......................

2) x(x-1)............

3) -2x(x-3) + 4x( x+1).............

4) y(y-1) + y(y+1) - y²

5) (x+3) (x-2).............

6) (x-5)² ............

7) x²-1 + (x-1)².........................

8) (2a-3b)²

Actividad 5: Sumar.

1) 1/a + 2/a

2) 3/x + 4/x

3) m/2x + n/x Amplifique por 2 la segunda fracción para que sean homogéneas.

4) a/3x + b/6x Amplificar la primera por 2.

5) k/x² + k/x Amplifique la segunda por x, es decir que debe multiplicarla arriba y abajo por x.

6) r/s + r/s²

7) a/(x-1) + b /(x-1)²

8) x/(x-3) + y (x-3)

9) m/(x+2) + x/(x+2)²

10) m/(x+2) + x/(x²+2x+4).............. Factorice el trinomio de la segunda fracción.

11) a/x -b/(x²-x)

12) 1/x + 1/y

13) a/b + b/a

14) (x-1)/ x + x/(x-1) - (x+1)/(x-1)

Actividad 6: Cacular.

Nota: una expresión en función de x se denota por f(x), por ejemplo el área A de un cuadrado cuyo lado mide x, se calcula mediante la expresión de función:

A(x)=x²

Por ejemplo, A(3) = 3², en donde A(3)=9, que significa que el área de un cuadrado de lado 3 unidades es 9 unidades cuadradas.

En ocasiones es necesario calcular valores numéricos de la función, como el caso de x=3, entonces A(3)=9. También es necesario calcular valores literarales, es decir que la función toma expresiones algebraicas, como por ejemplo A(m+n) con A(x)=x² quedaría:

A(x)=x²

como x= m+n entonces quedaría

A(m+n)=(m+n) ²

o sea:

A(m+n)=m²+2mn+n²

Recuerde que (m+n)²= (m+n)(m+n) = mm+mn+nm+nn = m²+2mn+n²

1) Sea f(x)=2x-1, calcular f(-4)

2) Sea f(x)=4x-1, calcular f(m)

3) Sea f(x)=2x-1, calcular f(a+b)

4) Sea f(x)=2(x-1), calcular f(100)

4) Sea f(x)=2(x-1), calcular f(100)

5) Sea f(x)=3x+4, calcular f(x+h)

6) Sea f(x)=3x+4, calcular f(x+h)-(3x+4)

7) Sea f(x)=2x, calcular f(x+h)-f(x) Reemplace f(x) por 2x

8) Sea f(x)=5x-6, calcular f(x+h)-f(x) Reemplace f(x) por 5x-6

9) Sea f(x)=x², calcular f(x+h)-f(x) Reemplace f(x) por x²

10) Sea f(x)=x³, calcular f(x+h)-f(x)

11) Sea f(x)=1/x, calcular f(x+h)-f(x)

12) Sea f(x)=2x-34, calcular (f(x+h)-f(x)) / h

13) Sea f(x)=x²-3x+1, calcular (f(x+h)-f(x)) / h

Actividad 7: Simplificar.

1) (x²-x)/x

2) 3(x-1) / [(x+1)(x-1)]

3) (x²-9) / (x-3)

4) (x+3) /( x²-9)

5) (x²+7x+12) / (x+3)

6) (x²+3x-10) / (x²+6x+9)

7) (y²-4) / (y²+4y-12)

Actividad 8: Calcular el valor de la incógnita.

1) 2^x=4

2) x²=16

3) 2⁵=x

4) 3 ^x-1 =9

5) (x-1)²=16

6) 4^x-2=64

7) √(x-1)=9

8) 2√x =8

9) 1-√x=10

10) |x| =5

11) |x-1| = 25

Actividad 9: Escribir el enunciado en notación de límite y calcular.

1) límite cuando x tiende a 3 de f(x)= 3x-2

2) límite cuando x tiende a 2 de f(x)= 1/x

3) límite cuando x tiende a 0 de f(x)= 1/x

4) límite cuando x tiende a -1 de f(x)= 1/(x+1)

5) límite cuando x tiende a infinito positivo de f(x)= 1/x

6) límite cuando x tiende a infinito negativo de f(x)= 1/x

7) límite cuando x tiende a infinito positivo de f(x)= 2x / (x-1)

8) límite cuando x tiende a infinito positivo de f(x)= (5x-3) / (2x-1)

9) límite cuando x tiende a 1de f(x)= (x-1) / (x²-1)

10) límite cuando x tiende a 1de f(x)= (x²+2x+1) / (x+1)

11) límite cuando x tiende a 3 de f(x)= (x-3) / (x²-9)

12) límite cuando x tiende a -3 de f(x)= (x-3) / (x²-9)

13) límite cuando x tiende a 2 de f(x)= (x²+3X-10) / (x²+5X-14)

14) límite cuando x tiende a 1 de f(x)= 1 / (1-√x)

15) límite cuando x tiende a 9 de f(x)= 1 / (3-√x) Debe racionalizar

16) límite cuando x tiende a 9 de f(x)= X / (X-√x) Racionalizar.

17) Límite cuando x-->0 de (x²+x) / (x²-x)

Actividad 10: Graficar las funciones 3, 7, 8, 9, 11, 14 y 17 de la actividad 9. Receurde trazar asíntotas y unicar puntos de discontinuidad. También recuerde indicar el límite a los valores críticos, diga si exite o no y de existir, debe calcularlo.

COMASACA GRADO 10 TARDE Razones trigonométricas

Para comprender la importancia de las razones trigonométricas, es necesario comprender el significado de RAZON. Veamos el siguiente ejemplo:

Un vehículo consume 5 galones de gasolina en un trayecto de 200 km. de sistancia.

Galones........ Distancia (Km.)
5----------- 200

Surge la necesidad de conocer la distancia que se puede alacanzar con sólo 1 galón. Para esto se realiza una comparación en forma de cociente, entre las dos magnitudes: Capacidad en galones y distancia que recorre.

Galones ......Distancia (Km.)

5 -----------200

Resulta obvio que la quinta parte de la cantidad de galones alcanzará par la quinta parte de la distancia, es decir:

Galones ..........Distancia (Km.)

5/5 ---------- 200/5
1 ------------40

Significa que 1 galón alcanza para 40 kilómetros.

Es necesario resaltar que al establecer el cociente entre distancia y capacidad en galones, también se obtiene 40 km/gal.

En resumen, las razones en matemáticas se usan para comparar dos o más magnitudes.


Actividad 1: Calcular la razón entre las dos magnitudes que se mencionan.

1.1 5 litros de leche cuestan $12.000
1.2 Una persona descubre que durante 60 segundos su corazón late 80 veces.
1.3 Una persona recorre 20 km en media hora.
1.4 Un computador procesa 1 millón de letras en tan sólo 0,001 segundo.
1.5 Un triángulo recto tiene una hipotenusa de longitud 15 cm cuando se amplió al triple.


Actividad 2: Resolver los siguientes problemas:

2.1 Un vehículo viaja a razón de 40 kilómetros por hora, ¿en cuánto tiempo recorre 300km.?
2.2 Una persona normal puede leer 3 palabras por segundo, ¿cuánto tarda en leer 600 palabras?
2.3 Por un grifo de agua salen 6 litros de agua por minuto, ¿qué cantidad de agua sale en una hora?
2.4 La razón entre la altura y la base de un triángulo recto es 3/4, ¿calcular su altura si la base es 8 cm.?


Actividad 3: Identificar la razón entre las dos magnitudes que se muestran en la figura.

3.1 3.2

Las razones en los triángulos rectos.

Cuando se habla de razon en un triángulo recto, se hace referencia al cociente entre las longitudes de dos de sus lados, con el propósito de resolver un problema geométrico que implica semejanza de figuras planas.

La razón más común es la que se establece entre lados correspondientes. Recordemos que dos lados de un triángulo son correspondientes cuando la medida de sus ángulos adyacentes es la misma. Por ejemplo en la gráfica de abajo al segmento que representa la carretera de 80m. le corresponde la el segmento que representa la carretera de 20 m., siendo las dos carreteras paralelas. Según la información ¿qué distancia separa las dos carreteras?

Como se puede notar, la distancia entre el punto B y la carretera de 20 m es de 30m, y la distancia entre la carretera de 20m y 80 m. es desconocida y la llamaremos X.
De acuerdo con esto, la razón entre 80 y 20 debe dar lo mismo que la razón entre x+30 y 30, escrito en forma de proporción sería:

De donde

80 (30) = 20(x+30)

Producto de medios con extremos.

2400 = 20x+600

Despejando la incógnita de la ecuación resultante.

2400-600=20x

1800=20x

90=x

Significa que las dos carreteras están separadas 90 metros.

Actividad 4: Calcular el valor de la incógnita a partir de la información suministrada en el grafico. Plantee la ecuación en forma de proporción y despeje la incógnita.

4.1.4.2.
4.3. Concentraremos nuestra atención en aquellas proporciones que resultan de la solución de triángulos rectos.


Nótese que la proporción se reescribe intercambiando el 10 y el 20, es decir, intercambiando los medios de la proporción. De esta manera se obtiene la razón entre cateto opuesto e hipotenusa, llamada razón trigonométrica Seno (Sinus en latín, que significaba Bahía o entrada).

Recordemos un poco cómo identificar el cateto opuesto (Co), el adyacente (Ca) y la hipotenusa (Hip). Recuerde que el Ca se denota con la letra "x", el cateto opuesto Co con la letra "y" y la hipotenusa con la letra "r".


Actividad 5: Identificar Co, Ca e hipotenusa en cada triángulo, ubicando en cada lado la letra que le corresponde.

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

La razón trigonométrica Seno se calcula mediante la relación entre la longitud del cateto opuesto sobre la longitud de la hipotenusa:

La reazón trigonométrica Coseno se calcula mediante la relación entre la longitud del cateto adyacente y la hipotenusa:
La razón trigonométrica Tangente se calcula mediante la relación o división entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:


Actividad 6: Establezca las razones Seno, Coseno y Tangente de alfa para cada uno de los triángulos del ejercicio anterior. Dibuje el triángulo de nuevo y al lado derecho escriba las razones.


Si dos triángulos rectos son semejantes, la razón Seno del ángulo congruente resulta equivalente, de igual manera para Coseno y Tangente.



Actividad 7. Calcular el valor de la hipotenusa o cateto opuesto, planteando la razón Seno.

7.1

7.2

Actividad 8: Establezca la razón Seno de alfa, obteniendo así la ecuación en forma de proporción y despeje la incógnita.

8.1 8.28.38.4 8.5

Actividad 9: Establezca la razón coseno de alfa y despeje la incógnita.

9.1

9.2


9.3

9.4


Actividad 10: Solucione el triángulo rectángulo en términos del ángulo de referencia. Cuando tenga despejada la incógnita, haga uso de la calculadora para encontrar el valor de seno o coseno del ángulo pedido.

10.1

10.2

10.3

10.4
Actividad 11: Establezca la razón trigonométrica Tangente en los triángulos del punto 10, es necesario que dibuje el triángulo de nuevo.


Actividad 12: Resolver, construyendo el triángulo que es necesario par la mejor comprensión del problema.

12.1 Un poste de 10 metros de altura es amarrado al piso por medio de una cuerda que forma un ángulo de 45 ° con la horizontal. ¿Qué longitud tiene la cuerda?

12.2 La sombra de un edificio, en un momento del día, forma un ángulo de 20° con la horizontal. Si la sombra mide 50 metros, ¿qué altura tiene el edificio?

12.3 Una rampa tiene un altura de 50 cm, y forma un ángulo de 30° con la pared. ¿Qué ángulo forma con el piso y qué longitud de rampa tiene?



Fin del Taller.

COMASACA GRADO 9 Tarde, Método de igualación.

Motivación

Situación Significativa de Aprendizaje (SSigA)

Daniel adquiere un contrato con un parqueadero de vehículos en donde debe verificar la presión de las llantas de vehículos allí estacionados, entre carros de sólo cuatro llantas y motos de sólo dos llantas. Por cada moto revisada le pagan $1.000 y por cada carro $1.500. En total hay 50 vehículos y un total de 140 llantas. ¿Cuánto dinero gana Daniel por ese contrato?

Solución: El dinero que le pagan se obtiene al multiplicar $1.000 por la cantidad de motos y $1.500 por la cantidad de carros. Supóngase que la cantidad de motos se representa por la letra m y la cantidad de carros por la letra c, siendo el dinero a ganar por parte de Daniel, la suma de 1000m+1500c. Esto indica que se debe averiguar el valor de m y c.

Como en total hay 50 vehiculos entre carros y motos, se plantea que:

m+c=50

Que será la primera ecuación.

Ahora, como afirman la existencia de 140 llantas, el total de llantas de m motos es de 2m y el total de llantas de c carros es 4c, por consiguiente:

2m+4c=140

Que llamaremos segunda ecuación.

En resumen:

m+c=50
2m+4c=140

Resolvamos el sistema por el método de igualación, para esto despejemos m en ambas ecuaciones y luego igualemos sus resultados para solucionar la ecuación resultante:

m=50-c
2m=140-4c


Como en ambas ecuaciones debe quedar la incógnita totalmente despejada, pasamos el 2 de la segunda ecuación a dividir al otro lado:

m=50-c
m=140/2 - 4/2c

Las divisiones que aparecen son exactas:

m=50-c
m=70 - 2c

Igualando los resultados:

50-c = 70-2c

2c-c = 70-50

c = 20

Significa que hay 20 carros y en consecuencia 30 motos.

El dinero que recibe es:

30($1.000) + 20($1.500)
$30.000 + $30.000

$60.000.

Daniel recibe $60.000 por el contrato.

Fase Cognitiva.

Este método se fundamenta en la propiedad reflexiva de la igualdad, que afirma la equivalencia entre una cantidad y ella misma. Todo número es equivalente a el mismo: 5=5, 6=6, x=x.

Al despejar una misma incógnita en las dos ecuaciones de un sistema de 2x2 e igualar sus resultados, se aplica esta propiedad. Por ejemplo:

x=3y+1
x=2y-5

Al igualar sus resultados:

3y+1 = 2y-5

Se puede notar que se obtiene una ecuación con una sola incógnita, cuya solución es:

3y-2y=-5-1

y=-6

Comprobando se tiene que:
x=3(-6)+1 = -18+1 = -17
x=2(-6)-5 = -12-5 = -17

La solución es (x, y)= (-17, -6)