COMASACA, Grado 9º, Jornada Tarde. Ecuación General de la recta en el plano.

Taller para practicar y adquirir mayor habilidad en el proceso de obtención de la ecuación de una línea recta en el plano cartesiano.

Lee con atención el siguiente taller, en él encontrarás información muy importante, la cual debes aplicar para la solución de los ejericios que allí se proponen.

El primer postulado de Euclides dice:

-Por dos puntos diferentes sólo se puede trazar una línea recta.

Los otros cuatro son:

-Todo segmento rectilíneo se puede prolongar indefinidamente.
-Con un centro y un radio dado sólo se puede trazar una circunferencia.
-Todos los ángulos rectos son iguales.
-Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de ese lado.

A partir del primer postulado podemos sospechar que ya por tres puntos no necesariamente pasa una recta, es decir que al dibujar tres puntos en el plano, no siempre son colineales; pero si dibujamos sólo dos, serán colineales siempre (estarán en una recta).
Nótese que al ubicar ya tres puntos, es probable que no sean colineales. Para que los tres puntos de la imagen sean colieneales, A debería estar ubicado en A' (léase A prima, A con la comilla encima).


Visualmente se puede establecer si son colineales o mejor, se puede trazar también una recta por dos de los puntos, que puede pasar o no pasar por el tercero. Para mayor seguridad, se establece
un sistema de referencia (rectas paralelas verticales y horizontales) para medir la pendiente de la recta que une dos de los puntos (en este caso los puntos A y B) y luego calcular la pendiente de la recta que une los otros dos puntos (en este caso B y C), si estos calculos son equivalentes ( es decir, de igual valor) se afirma que los puntos son colineales. Se procede así:



1. Trazamos rectas verticales sobre los tres puntos, pero que sean paralelas entre sí (las de color azul).
2. De igual manera se trazan rectas horizontales que pasen por los tres puntos y que sean también paralelas entre sí (las de color rojo).

3. Se calculan las medidas de los segmentos que se indican con la letra griega Δ, (se lee delta) que son: ΔY1, ΔX1, ΔY2 y ΔX2. Luego se vrifica si ΔY2/ΔX2 es equivalente (arroja el mismo valor, son iguales en valor) a ΔY1/ΔX1. Si son iguales, los tres puntos son colineales, de lo contrario, NO lo son.


Ejercicio 1: Verifique si el punto del ojo es colineal con los dos lunares que tiene en la cara, la persona de la imagen. Mida la pendiente del ojo al lunar de la mejilla y luego la pendiente del lunar de la mejilla con el lunar de la boca. Recuerde que la pendiente equivale a ΔY1/ΔX1.
Ejercicio 2: Verifique si los tres siguientes puntos son colineales, aplique el método anterior.



vemos entonces que para ser colienales los tres puntos, la pendiente de cualquier par de puntos debe ser la misma. ¿Qué sucede si los puntos están ubicados en el plano cartesiano?

El proceso de verificación de colinealidad se facilita, ya que los puntos tienen una ubicación a manera de pareja ordenada. Por ejemplo los puntos A(1,1), B(2,2) y C(4, 5) NO son colineales, para verificarlo se procede así:

1. Se ubican los puntos en el plano cartesiano.


2. Se calcula la variación horizontal (en x) entre los puntos A y B


3. Se calcula la variación en Y (vertical) entre los puntos A y B.

COMASACA, Grado 7º, Jornada Tarde. Adición de números enteros.

Taller.

1. Indique con un * las sumas cuyos sumandos tienen igual signo y con un @ aquellas que tienen sumandos de diferentes signos:

a) -3+4
b) -8+(-3)
c) 120+34
d) 800+(-200)

2. Escriba el número opuesto a cada valor, por ejemplo: opuesto(-3)=+3 o si lo prefiere escriba "el opuesto de -3 es +3"

a) -7
b) -8
c) 120
d) -200
e) -345
f) 1000
g) x
h) -a

3. El valor absoluto de un número es la distancia a la cual se encuentra del cero. Por ejemplo, el valor absoluto de -6 es 6 porque el -6 se encuentra a 6 unidades del cero. Lo mismo sucede con el -80 que se encuentra a 80 unidades del cero. También el 45, cuyo valor absoluto es 45. En resumidas cuentas, es dejar el número positivo a como dé lugar. Para simbolizar que se quiere extraer el valor absoluto, se usa la notación abs( ), en el interior de los paréntesis va el número. Por ejemplo abs(-4) es 4 ó abs(5) es 5 y se escribe : abs(5) = 5. También se puede escribir el número entre dos barras verticales así: |5|=5 ó |-4|=4. De aceuerdo con esta información, calcular:

a) abs(6)
b) abs(-7)
c) abs(8)
d) |4|
e) abs(7) + abs(6)
f) |-100|+|100|
g) abs( -3+4) Realice primero la operación interna al paréntesis.
h) |-45+50| + |45-50|

4. Complete la siguiente oración: si los números enteros que se van a sumar tienen signos ____________, se realiza una suma normal y se deja el ___________ signo. Si los números enteros a sumar tienen signos ____________, se realiza una resta y se deja el signo del sumando con mayor valor ___________.

5. Realice las siguientes sumas:

a) -4+8
b) -12+(-4)
c) -4+(-5)
d) -1+1
e) 1+(-1)
f) 120+(-34)
g) -2534+(-456)
h) a+(-a)
i) -b+b

6. Reemplace la incógnita "x" por -4 y la incógnita "y" por 8 para calcular el resultado de las siguientes operaciones:

a) abs(x)
b) abs(y)
c) y+abs(x)
d) x+abs(y)
e) x+y
f) |x| + opuesto(y)
g) |y|
h) |x+y| + opuesto(x)

7. Resolver: un termómetro marca -5ºC, si a esta temperatura se le suman -2ºC, se obtiene:


8. Halle la suma de los números enteros comprendidos entre -4 y +4

9. En una evaluación de 20 preguntas se dán 20 puntos sólo por asistir, por cada tres preguntas malas se quita un punto y por cada buena se da un punto. Si se respondieron 12 buenas y 8 malas, ¿qué puntaje se obtiene?

10. Escriba el número que hace falta para que la igualdad se cumpla:
a) 4+ ___ = 3
b) -5 + __ = 8
c) ___+ (-45) = 100
d) ___+34+(-2)=200

11. Calcular el valor de x en cada ecuación:

a) x+3=10
b) x-3=10
c) x+8=-8
d) x+(-8)=0
e) 100+x=99
f) 123+(-4)=x
g) 1540=-2+x


12. Realizar el siguiente ejercicio referente al termómetro.

COMASACA, Grado 9, Matemáticas, Evaluación Final de Periodo II.

Colegio Mayor Santiago de Cali.

Evaluación Final de Periodo

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Fecha: Marzo de 2011 Grado: 9º Periodo: II

Asignatura: Matemáticas.

Tema: Sistemas de Ecuaciones Lineales de 2x2.

Profesor: Oscar Cantero Manrique.

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Estudiante:

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Calificación: (Aciertos / TotalPreguntas) x 5 =

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Responda las preguntas desde la 1, 2, 3 y 4 de acuerdo a la siguiente información.

“En Colombia, al final de cada año, los representantes del gobierno, de los empresarios y de los trabajadores se sientan a discutir el incremento del salario mínimo. La idea de la discusión es que las tres partes lleguen a un acuerdo, teniendo en cuenta los impactos sociales, políticos y económicos que puede generar cualquier tipo de decisión. La inflación del año 2008 fue de 7,67% y así mismo fue el incremento del salario mínimo legal (SML) para este nuevo año, quedando en 496.897,05 pesos, que por decreto se ubicó en 497.000 pesos mensuales, más un subsidio de transporte de 59.300 pesos para el año 2009.”[1]

1. De lo anterior se puede concluir que para ajustar el salario a la unidad de miles más cercana, fue necesario

a. adicionar $102,5

b. sustraer $203

c. adicionar $103,5

d. adicionar $102,95

2. El valor total que recibe un empleado como salario mensual es (sólo a partir de la información)

a. $553.000

b. $556.000

c. $556.300

d. $996.300

3. Supóngase que la inflación para el año 2009 fue del 5%. Significa esto que el SML quedaría en:

a. $521.800

b. $521.700

c. $521.850

d. $521.000

4. Para generalizar, David afirma que si el valor de un SML es X y se incrementa en un a%, su nuevo valor sería:

a. x+a

b. x+10a

c. x(1+0,1a)

d. x+0,01ax

5. El diagrama de la figura indica la cantidad de estudiantes que prefieren el fútbol (F), baloncesto (B) y natación (N). Nótese que 6 prefieren F y B, 5 prefieren B y N y 9 F y N. Además, para el caso de B, sólo 3 lo prefieren como único deporte. La cantidad de estudiantes que gustan de F, seguido de los que gustan de B y los que gustan de N, respectivamente, son:

a. 31, 10 y 25

b. 20, 3 y 15

c. 5, 2 y 1

d. 6, 5 y 9.

6. Se prestan $120.000 de tal manera que la persona paga el 2% mensual de interés por el dinero que debe. Mensualmente paga $10.000. Por ejemplo, el primer mes paga la cuota más el interés del préstamo, rebajado en la cuota, que en total serían:

10.000 + 2%(120.000-10.000)

10.000+2%(110.000)

10.000+2.200

12.200

Ya el segundo mes el préstamo está en $110.000 y sobre este valor se abonan los siguientes 10.000 y se cobra el 2%. ¿Cuánto dinero debe pagar el segundo mes? (Mostrar el proceso)

a. 1200

b. 12.200

c. 12.000

d. 12.222

7. Doña Juana compra empanadas a $400 y las vende a $500. Cierto día adquiere un contrato de una semana en la cual le piden 300 empanadas diarias, con la condición que si algunas se dañan o salen malas, ella asume la pérdida. Por ejemplo, si de las 300 le regresan 10 por este motivo ella ganaría $29.000 por la venta y asumiría una pérdida de $4.000, para una ganancia en total de $25.000. De acuerdo con esto, si le regresan 30 empanadas que se dañaron, Doña Juana ganaría

a. $13.000

b. $14.000

c. $15.000

d. $16.000

8. Una empresa saca al mercado un producto X, del cual calcula que sus ganancias “G” están determinadas por el número “a” de artículos mediante la expresión

G=10.000+250a.

De acuerdo con esto, se puede afirmar que para 80 artículos, la ganancia que se obtiene es

a. el triple de la que obtiene para a=10

b. el triple de la que obtiene para a=0

c. el triple de la que obtiene para a=40

d. la misma para a=60.

9. Al escribir la ecuación 2(x-3)-3(1-2y)=10, de la forma ax+by=c, se obtiene la terna ordenada (a, b, c). Calcule los valores de a, b y c. (Mostrar el proceso).

a. 2, 6 y 19

b. 2, 6 y 20

c. 6, 2 y 19

d. 2, 19 y 6

10. En una finca hay 48 aves entre gallinas y patos. Por cada pato hay tres gallinas. Para su alimentación semanal se consumen 0,5kg de maíz por cada tres gallinas y 0,8 kg por cada 4 patos. ¿Cuántos kilogramos de maíz se consumen por semana en la alimentación de las 48 aves?

(Mostrar proceso)

a. 8kg

b.8.3kg

c. 8.2kg

d.8,4kg

11. “Escribir ambas ecuaciones en la forma ax+by=c, luego seleccionar una incognita de tal manera que en ambas ecuaciones tenga coeficiente inverso aditivo, sumar ambas ecuaciones para cancelar la incognita y así resolver la ecuación resultante y finalmente reemplazar este valor en cualquiera de las ecuaciones para despejar la otra incognita”. El anterior texto hace referencia al método de

a. igualación

b. reducción

c. determinantes

12. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales de 2x2 mediante el método de eliminación o reducción (mostrar el proceso).

20p+5q=110

15p+20q=115

13. Resolver el sistema por el método de igualación (mostrar el proceso).

2p-5q=10

5p+6q=62

Hoja de respuestas.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
a	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
b	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
c	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
d	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

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[1] Tomado de: “La historia detrás del salario mínimo”, www.eltiempo.com, 09/09/2009.

COMASACA, Grado 9, Estadística, SSIGA

SITUACIÓN SIGNIFICATIVA DE APREDIZAJE (SSIGA)

En la elección de personero de un salón de clase, se postularon tres candidatos A, B y C. Cada uno de los 35 estudiantes (incluidos los candidatos) votan en un papel de manera secreta, apuntando los tres nombres, uno debajo del otro, de tal manera que el primero ocupa el lugar de personero, el segundo de suplente y el tercero no es elegido. Se recogen los votos y se registran en el tablero, debajo de cada nombre del candidato, los números 1, 2 ó 3 de acuerdo al orden de cada voto. Por ejemplo, si un voto tiene los nombres:

A
C
B

Debajo de A se escribe 1, de C se escribe 2 y de B se escribe 3, como se muestra a continuación:
A.......B........C
1........3........2

En Excel quedaría así:


Al final se realiza una tabla de frecuencia cruzada indicando la cantidad de unos, dos y tres que tuvo cada candidato.

.......frecuencia.....
.......1........2........3
------------------
A
------------------
B
------------------
C

En Excel quedaría así:



Realice la tabla de frecuencia para los siguientes registros de votos realizados en el salón.

A= 1,1,2,3,2,1,1,2,3,3,3,2,2,2 -------------14 Votos
B=1,1,2,2,3,1,1,1,2,2-----------------10 Votos
c=2,2,2,2,3,3,3,1,1,1,3------------11 Votos

Puede ubicar estos números en Excel y usar la función contar.si para contabilizar los datos.

Luego realice el histograma (grafico de barras agrpada) para la tabla de frecuencia, en Excel. Luego envíe al correo del profesor el archivo con: tabla de datos, tabla de frecuencia e histograma (ver imagen)

COMASACA, Grado 11, Jornada de la Tarde, Estadística.

SITUACIÓN SIGNIFICATIVA DE APREDIZAJE (SSIGA)

En la elección de personero de un salón, se postularon tres candidatos A, B y C. Cada uno de los 35 estudiantes (incluidos los candidatos) votan en un papel de manera secreta, apuntando los tres nombres, uno debajo del otro, de tal manera que el primero ocupa el lugar de personero, el segundo de suplente y el tercero no es elegido. Se recogen los votos y se registran en el tablero, debajo de cada nombre, los números 1, 2 ó 3 de acuerdo al orden de cada voto. Por ejemplo, si un voto tiene los nombres:
A
C
B

Debajo de A se escribe 1, de C se escribe 2 y de B se escribe 3, como se muestra a continuación:
A.......B........C
1........3........2

Al final se realiza una tabla de frecuencia cruzada indicando la cantidad de unos, dos y tres que tuvo cada candidato.
.......frecuencia.....
.......1........2........3
------------------
A
------------------
B
------------------
C

Realice la tabla de frecuencia para los siguientes registros de votos realizados en el salón.

A= 1,1,2,3,2,1,1,2,3,3,3,2,2,2 -------------14 Votos
B=1,1,2,2,3,1,1,1,2,2-----------------10 Votos
c=2,2,2,2,3,3,3,1,1,1,3------------11 Votos

Puede ubicar estos números en excel y usar la función contar para contabilizar los datos.
Luego realice el histograma (grafico de barras) para la tabla de frecuencia, en Excel.

Para finalizar y a manera de cierre, copiar el siguiente mentefacto conceptual de Espacio Muestral (EM) en el cuaderno.

Para visualizar claramente, dar click encima de la imagen.