miércoles, 9 de febrero de 2011

COMASACA, Matemáticas, Grado 9, Periodo II, Tema: Sistemas de Ecuaciones Lineales.

En el siguiente texto tendrás que completar algunas oraciones y operaciones a manera de ejericitación en el tema.


RECORDEMOS LO QUE VENÍAMOS HACIENDO.



Hasta el momento, hemos visto como dos cantidades o magnitudes varían, una respecto de la otra. Por ejemplo el costo "C" de un plan de teléfonía celular, que está en función del tiempo "t" consumido y del cargo básico. La expresión C=250t+10000 como ecuación de costo para la empresa A, nos indicaba que C dependía de t, por ejemplo si t=10 minutos, el costo era de __________________. La imagen 1 muestra la manera como varía el costo en función del tiempo.






Las magnitudes que variaban fueron estudiadas en la función lineal, sin adicionar otra condición. Pero cuando ya se hablaba de una segunda situación relacionada con la primera, por ejemplo otra empresa B cuya formula era C= 300t+8000, se formulaban interrogantes cuya respuesta requería de analizarlas en conjunto. Como pudiste calcular, para un consumo de 10 minutos la empresa A cobra $12.500 y en la empresa B sería de $11.000. Al diligenciar la tabla de valores para las dos empresas, ¿para cuál valor de t, ambas empresas cobran lo mismo? Al Diliegenciar la tabla de valores de la Figura 1. nos damos cuenta que
_________________________________________________________________


_________________________________________________________________


Estas situaciones de linealidad que deben ser analizadas en conjunto, reciben el nombre de problemas de sistemas lineales. Cuando se pretende resolver las ecuaciones para depejar incógnitas referidas a sus magnitudes, reciben el nombre de Sistemas de Ecuaciones Lineales (SEL).







El SEL para el problema del consumo a celular de las mpresas A y B sería:

CA=250t+10000 y CB= 300t+8000.

Como pudiste ver en la tabla, el consumo de A y el Consumo de B son iguales en valor cuando t=40 ¿por qué? Ver imagen 2.



Para responder a este interrogante, es necesario igualar CA con CB, pues preguntan el valor de t para el cual estas dos cantidades son equivalentes.














CA=CB

250t+10000=300t+8000

10000-8000= 300t-250t

2000=50t

2000/50=t

40=t




Indica entonces que para un consumo de 40 minutos ambas empresas cobran el mismo valor. Quiere decir que antes de los 40 minutos es mejor la empresa ___, a los 40 minutos ______________ de las empesas es mejor y después de los 40 minutos es mejor la empresa _____.


Como pudimos ver, las ecuaciones de las empresas A y B forman un s_________de e____________s.


Como estudiante, debes adquirir habiliades para resolver situaciones problema que requieren de plantear un sistemas de ecuaciones, resolverlo e interpretar la solución. Para esto, el grupo de maestros del COMASACA, han propuesto el siguiente indicador de desempeño: comprendo enunciados de problemas matemáticos que involucren funciones, sistemas de ecuaciones y medidas de precisión para poliedros. Lo más importante de esto está en la potenciación de habiliades de pensamiento superior, en cuanto a que se debe "comprender", acto mental necesario en cualquier actividad humana.


Veamos la siguiente situación: Diana recibe un paquete de 165 unidades, entre bananas y bombones, para repartirlo a 111 infantes que asisten a la fiesta de su hija. La persona que le vendió el paquete le dijo que podía repartir, sin que sobrarán, a cada niño un par de bananas y a cada niña un bombón. ¿Cuántos niños y niñas habían en la fiesta?


Para resolver un problema de SEL, es necesario llevar a supuestos valores la situación, para comprenderla desde las operaciones aritméticas que varían, para luego representar estas cantidades desde letras o variables.


Supongamos que hay 10 niñas y 8 niños, es decir 18 infantes, para los cuales las niñas reciben 10 bombones y los niños reciben 16 bananas, que dan un total de 26 uniades de dulce, situación que no coincide con la del problema. Pensemos ahora que hay 100 niñas y 11 niños, para los cuales hay 100 bombones y 22 bananas, que dan un total de 122 unidaes, que tampoco cumple con las condiciones.

Este proceso se denomina de ensayo y error (e/e), que facilita la comprensión del problema en la medida que se pueda representar los sucesos repetitivos por medio de variables. Los diferentes valores de la situación dada, se mmuestran en la siguiente tabla:

h m Bananas Bombones Bananas+bombones
1 110 2 110 112
2 109 4 109 113
3 108 6 108 114
4 107 8 107 115
5 106 10 106 116
6 105 12 105 117
7 104 14 104 118
8 103 16 103 119
9 102 18 102 120
10 101 20 101 121
11 100 22 100 122
12 99 24 99 123
13 98 26 98 124
14 97 28 97 125
15 96 30 96 126
16 95 32 95 127
17 94 34 94 128
18 93 36 93 129
19 92 38 92 130
20 91 40 91 131
21 90 42 90 132
22 89 44 89 133
23 88 46 88 134
24 87 48 87 135
25 86 50 86 136
26 85 52 85 137
27 84 54 84 138
28 83 56 83 139
29 82 58 82 140
30 81 60 81 141
31 80 62 80 142
32 79 64 79 143
33 78 66 78 144
34 77 68 77 145
35 76 70 76 146
36 75 72 75 147
37 74 74 74 148
38 73 76 73 149
39 72 78 72 150
40 71 80 71 151
41 70 82 70 152
42 69 84 69 153
43 68 86 68 154
44 67 88 67 155
45 66 90 66 156
46 65 92 65 157
47 64 94 64 158
48 63 96 63 159
49 62 98 62 160
50 61 100 61 161
51 60 102 60 162
52 59 104 59 163
53 58 106 58 164
54 57 108 57 165
55 56 110 56 166
56 55 112 55 167
57 54 114 54 168
58 53 116 53 169
59 52 118 52 170
60 51 120 51 171
61 50 122 50 172
62 49 124 49 173
63 48 126 48 174
64 47 128 47 175
65 46 130 46 176
66 45 132 45 177
67 44 134 44 178
68 43 136 43 179
69 42 138 42 180
70 41 140 41 181
71 40 142 40 182
72 39 144 39 183
73 38 146 38 184
74 37 148 37 185
75 36 150 36 186
76 35 152 35 187
77 34 154 34 188
78 33 156 33 189
79 32 158 32 190
80 31 160 31 191
81 30 162 30 192
82 29 164 29 193
83 28 166 28 194
84 27 168 27 195
85 26 170 26 196
86 25 172 25 197
87 24 174 24 198
88 23 176 23 199
89 22 178 22 200
90 21 180 21 201
91 20 182 20 202
92 19 184 19 203
93 18 186 18 204
94 17 188 17 205
95 16 190 16 206
96 15 192 15 207
97 14 194 14 208
98 13 196 13 209
99 12 198 12 210
100 11 200 11 211
101 10 202 10 212
102 9 204 9 213
103 8 206 8 214
104 7 208 7 215
105 6 210 6 216
106 5 212 5 217
107 4 214 4 218
108 3 216 3 219
109 2 218 2 220
110 1 220 1 221

En rojo aparece la única situación que cumple las dos condiciones. Nótese que existen 110 posibilidades en el E/E, situación que tomaría mucho tiempo, pero que es esencial a la hora de comprender la dinámica en la solución del problema.

Supongamos ahora que hay "h" niños y "m" niñas, donde h+m=111 y que a cada niño se le dan dos bananas, donde el total de bananas es 2h, ya para las mujeres el total de bombones es m, de donde 2h+m=165 unidades. Obtenemos entonces un SEL´s que se escribe así:




¿Cómo solucionarlo?

Para solucionar este sistema de ecuaciones hay que acudir a un método. Existen varios métodos para la solución de un SEL´s: eliminación, sustitución, igualación y determinantes.


Método de Eliminación o Reducción.

Consiste en eliminar una de las incógnitas haciendo uso de la propiedad de la adición de la igualdad: al sumar los miembros de dos igualdades, la igualdad permanece. Más claro, si 5=5 y 4=4, entonces 5+4=5+4, que es verdadero. Además del uso del inverso aditivo que afirma que todo número real tiene un inverso aditivo y que al sumar un número con su inverso aditivo se obtiene cero (0), por ejemplo 4 sumado con -4 da 0.

Busquemos que al sumar ambas igualdades se cancele una de las incógnitas, en este caso la m:


Lo que se hizo fue multiplicar la primera ecuación por -1 (propiedad uniforme), de tal manera que la m quede con coeficientes inversos aditivos ( +1 y -1 son inversos aditivos ya que sumados dan 0).


Al sumar la primera ecuación con la segunda ecuación, se obtiene:


de donde

1h + 0m = 54

h=54

La cantidad de hombres es de 54 y la de mujeres es:

54+ m = 111

m= 111-54

m= 57

Por consiguiente hay 57 bombones y 2(54) = 108 bananas para 57 mujeres y 54 hombres.

Es necesario identificar que se repiten unos pasos en éste método, que son:


PASOS SUGERIDOS EN EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

I. Se deben escribir las ecuaciones de la forma ax+by=c. Por ejemplo, si una de las ecuaciones aparece como 2(3x-1) =3(2y-5), se deben realizar las operaciones necesarias así:

2(3x-1) =3(2y-5)
6x-2=6y-15
6x-6y=-15+2
6x-6y=-13
II. Se debe seleccionar la incógnita a eliminar, realizar las tranformaciones necesarias para que ésta quede en ambas ecuaciones con coeficientes que sean inversos aditivos. Por ejemplo para

(1) 2x-3y=4
(2) 4x+6y=10

Si se quiere eliminar la y, se debe multiplicar la primera ecuación por 2:

(1) 2(2x-3y)= 2(4)
(2) 4x+6y=10

Quedando:

(3) 4x-6y= 8
(2) 4x+6y=10

Es evidente que al sumar ambas ecuaciones, la incógnita y se cancela. Nótese que la ecuación (1) cambió por (3) ya que se amplificó por 2, de tal manera que cambia y es necesario también cambiar su etiqueta.

III. Sumar las ecuaciones y eliminar la incógnita seleccionada:

(3) 4x-6y= 8
(2) 4x+6y=10
---------- ------
4x+4x-6y+6y=18
8x+0y=18
8x=18
x=18/8
x=9/4

El verdadero desafío consiste en identificar los valores por los cuales debe amplificar o simplificar las ecuaciones para que la incógnita seleccionada se cancele.

IV. Reemplazar el valor encontrado en cualquierqa de las ecuaciones originales para despejar la otra incógnita y dar solución al sistema mediante una pareja ordenada (x,y).

Reemplazando 9/4 como valor de x en la primera ecuación, resulta:

2x-3y=4

2(9/4)-3y=4
18/4-3y=4
9/2-3y=4
9/2-4=3y
9/2-8/2=3y
1/2=3y
1/6=y

V. Verificar si son correctos los valores encontrados: para esto cada uno de los valores se reemplazan en ambas ecuaciones de tal manera que si son correctas, se obtienen dos igualdades.

(1) 2(9/4)-3(1/6)=4
(2) 4(9/4)+6(1/6)=10



Solución: (9/4 , 1/6)



http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/09-02-p-SisEcuProblemas.html

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