Grado 7, Matemáticas, sustracción con números enteros.

Tema: sustracción con números enteros.


1. Fase Afectiva

1.1 Propósito: comprender el proceso de solución de una sustracción y aplicarlo para la comprensión de un problema.

1.2 Indicador de desempeño: utilizo las operaciones entre números enteros para dar solución a problemas en diferentes contextos.

1.3 Valoración de Saberes Previos.

Selecciona la respuesta que consideres correcta, mostrando los procesos y operaciones llevados a cabo.

1.3.1 Una de las siguientes palabras NO hace referencia a las partes de una sustracción:

a) factor
b) minuendo
c) sustraendo
d) diferencia

1.3.2 En la expresión 45-12=33, el 12 es el

a) minuendo
b) sustraendo
c) diferencia

1.3.3 La diferencia entre dos números naturales es 10, si uno de ellos es 9, el otro es

a) 18
b) 1
c) 19
d) 91

13.4 Al restar dos números desconocidos a y b, se obtiene como resultado un número positivo diferente de cero, se puede concluir que
a) a es menor que b
b) a es mayor que b
c) a es igual a b
d) es imposible ordenar los números a y b.

1.3.5 El hexágono irregular PQRSTU de la figura (seis lados de diferente longitud cada uno) cumple que pq=22cm., QR=20 cm., SR=11 cm. y PU=17 cm. Se desconocen las medidas de los lados UT y TS. De acuerdo con la información, ST y TU miden respectivamente

Nota: tenga cuidado con el orden de las medidas, pues la afirmación va seguida de la palabra "respectivamente".

a) 11 y 3 cm
b) 10 y 3 cm
c) 3 y 11 cm.


1.3.6 En el problema anterior, se ha cortado un rectángulo de 3cm por 11 cm del rectángulo grande de 20 cm por 22 cm. El área del rectángulo grande es 440 cm² y el área del rectángulo pequeño es de 33cm², significa que el área del hexágono se puede calcular

a) sumando estos valores
b) restando estos valores
c) restando del área mayor, el área menor.
d) con ayuda de un computador.

1.3.7 Calcular el valor de la incógnita x en la ecuación x+2.345.674=3.435.200, escriba el proceso y la operación que realice.

1.3.8 En un grupo de 20 estudiantes, 12 juegan fútbol y 15 juegan baloncesto. Escriba las operaciones necesarias para calcular el número de estudiantes que juegan ambos deportes si 10 sólo juegan fútbol.


1.4 SITUACIÓN SIGNIFICATIVA DE APRENDIZAJE

Camilo compra 400 camisas a $26.800 cada una, para venderlas a $35.200 cada una. Al terminar el mes se ha dado cuenta que vendió sólo 395 de las camisas y que le robaron el resto. ¿Cuál fue la ganancia total que tuvo Camilo?

Solución:

La ganancia total que tuvo Camilo se calcula multiplicando la totalidad de las camisas por el precio al cual las vende cada una y luego restando a este valor el producto entre la cantidad de camisas que le robaron por el precio al cual compró cada una:

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Fase Expresiva
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1.4.1 Ejercicio: busca otra forma de realizar el cálculo de las gananccias totales de Camilo, escribe el proceso en cada operación y justifícalo.


1.5 Fase Cognitiva

La resta o sustraccion es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética; se trata de una operación de descomposición que consiste en, dada cierta cantidad, eliminar una parte de ella, y el resultado se conoce como diferencia o resto.

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Fase Expresiva
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1.5.1 Ejercicio: grafica la proposición: la resta, que es una operación matemática, consiste en eliminar una parte de cierta cantidad dada.

¿Qué es la resta?

Es la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si 9+2=11 entonces 11-2=9 y 11-9=2. Generalizando: si a+b=c, entonces c–b=a y c-a=b.

En la resta, el primer número se denomina minuendo y el segundo es el sustraendo. El resultado de la resta se denomina diferencia.

En el conjunto de los números naturales, N, sólo se pueden restar dos números si el minuendo es mayor que el sustraendo. De lo contrario, la diferencia sería un número negativo, que por definición estaría excluido del conjunto de los Naturales.

En matemáticas de séptimo grado no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a – b sino a + (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.

Lo que implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevo concepto de número, el conjunto de los números enteros, que incluye a los naturales.

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Fase Expresiva
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1.5.2 Ejercicio: Observa las siguientes sustracciones y marca con una x aquellas donde el minuendo es mayor o igual que el sustraendo.

a) 67-23
b) 45-25
c) 2.400.000-2.500.000
d) 200-300
e) (200+100) - 500
f) 0-34
g) (+1) - (-2)
h) (-3) - (+4)
i) (-100) - (+200)
j) (-120) - (-560)
k) (+100) - (+200)
l) (100) - (200)
m) -45 - (-1)

Se pueden realizar sustracciones con números enteros de dos formas: aplicando el criterio de comparación entre minuendo y sustraendo con signos (relación de orden y signos) o por el método del opuesto.

Sustracción aplicando el criterio.

Este criterio consta de dos partes: signo de la diferencia y magnitud de la diferencia.

• Signo de la diferencia: para aplicar este criterio se debe tener claro que cuando en una resta el minuendo es mayor que el sutraendo, la diferencia es positiva, de lo contrario es negativa, a esto se le llama signo de la diferencia. En el caso de ser iguales, la diferencia es nula, es decir equivalente a cero. Por ejemplo, las siguientes sustracciones son positivas:
  

4-3

Nótese que 4 es (+4) y que 3 es (+3)
léase positivo 4 menos positivo 3

-3-(-6)
porque -3 es mayor que -6

-30 - (-31)
porque -30 es mayor que -31

Recuerde que un número es mayor que otro cuando está a su derecha, es decir que a>b si a está a la derecha de b en la recta numérica.

Es de gran importancia que la relación de orden se aplique de manera correcta y se tenga habilidad en la comparación entre números enteros.

Las siguientes sustracciones tienen diferencia negativa:

-3-(-2)
porque -3 es menor que -2

-400-(+500)
como -400 es menor que +500, la diferencia es negativa

+2-(+5)
+2 está a la izquierda de +5 (+2<+5) por consiguiente la diferencia es negativa

Recordemos que si el minuendo es menor que el sutraendo, la diferencia es negativa.

• Magnitud de la diferencia: si el minuendo y sutraendo tienen igual signo, se resta el valor absoluto del mayor con el valor absoluto del menor y el resultado es la magnitud de la diferencia. de lo contrario, si el minuendo y sutraendo tienen signos diferentes se suman los valores absolutos y el resultado es la magnitud de la diferencia.

Ejemplo: 4-3

como 4 es mayor que 3 la diferencia es positiva
+( )
como 4-3 es equivalente a
(+4) - (+3)
tienen signos iguales entonces se restan las magnitudes
del mayor el menor

=+(4-3)

=+1
Recuerde que las magnitudes se calculan con el valor absoluto.

Ejemplo: -3-(-6)

El signo de la respuesta (diferencia) es + (positivo) porque
-3 >-6
-3-(-6) = + ( )
Ahora, como tienen signos iguales se restan las magnitudes
6-3=3
La diferencia tiene magnitud 3 y signo +

=+(6-3)

=+3

Ejemplo: 30 - (-31)

¿Cómo es 30 c0n respecto a -31?
Respuesta: es mayor.
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo positivo.

¿Cómo son los signos del minuendo y sutraendo?
Respuesta: diferentes.
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula sumando los valores absolutos:

+(30+31)

=+61

Ejemplo: -40 - (+10)

• ¿Cómo es -40 con respecto a +10?

Respuesta: es menor.
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo negativo.

• ¿Cómo son los signos del minuendo y sutraendo?

Respuesta: diferentes.
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula sumando los valores absolutos:

-(40+10)

= - 50

En resumen:

• Si el minuendo es mayor o igual que es sustraendo, la diferencia es positiva o nula, de lo contrario es negativa.
• Si el minuendo y sustraendo tienen signos iguales, se restan sus valores absolutos, del mayor el menor, de lo contrario se suman.

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Fase Expresiva
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1.5.3 Ejercicio: completa los siguientes procesos.

a) -20- (+10)

• ¿Cómo es -20 con respecto a +10?

Respuesta: _________.
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo ____________

• ¿Cómo son los signos del minuendo y sutraendo?

Respuesta: _________.
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula ___________ los valores absolutos:

= (______)

= ________

b) 35 - (-28)

• ¿Cómo es +35 con respecto a -28?

Respuesta: _________.
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo ____________

• ¿Cómo son los signos del minuendo y sutraendo?

Respuesta: _________.
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula ___________ los valores absolutos:

= (______)

= ________

c) 100 - 4.000

• ¿Cómo es +100 con respecto a -4.000?

Respuesta: _________.
Por consiguiente la diferencia o respuesta tiene signo ____________

• ¿Cómo son los signos del minuendo y sutraendo?

Respuesta: _________.
Por consiguiente la magnitud de la diferencia se calcula ___________ los valores absolutos:

= (______)

= ________

Sustracción aplicando el opuesto.

En matemáticas de séptimo grado no se habla de "restar" sino de "sumar el opuesto". En otras palabras, no se tiene a – b sino a + (–b), donde –b es el elemento opuesto de b respecto de la suma.

Ejemplo 1: 2 - (-4)

2 -(-4)

=2+op(-4)

=2+(+4)

=6

Ejemplo 1: 4 - (+2)

4 -(+2)

=4+op(+2)

=4+(-2)

aplicando el criterio de suma con signos diferentes:

=2

Ejemplo 1: - 345 - (-23)

-345 -(-23)

= -345+(+23)

=-322

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Fase Expresiva
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1.5.4 Ejercicio: realiza las siguientes restas haciendo convirtiendo la sustracción en suma.

a) 67-23......................................................

=67 + op(-23)
=67 + (+23)
=100

b) 45-25...............................................

=45 +(+25)

=70

Poco a poco omita la función op( )

c) 2.400.000-2.500.000

d) 200-300

e) (200+100) - 500

f) 0-34

g) (+1) - (-2)

h) (-3) - (+4)

i) (-100) - (+200)

j) (-120) - (-560).............................................

-120 +(+560)

-120+560

+440

k) (+100) - (+200)

l) (100) - (200)

m) -45 - (-1)

-45 +op(-1)
-45 +(+1)
-44

Sustracción con minuendo y sutraendo compuestos.

Una sustracción es compuesta cuando el minuendo o sustraendo o ambos, tienen operaciones en su interior, por ejemplo 45-(8-3). Nótese que el sustraendo es una resta, que se debe realizar para dejarlo símple:

45-(8-3)


=45-(+5)

=45+op(+5)

=(+45) + (-5)

Signos diferentes se restan y queda el signo del que tiene mayor valor absoluto (criterio suma).
=40


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Fase Expresiva
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1.5.5 Calcular:

a) (3+2)-(4+2)

b) (8-4) - (9-10)

c) (4+12-13) - (34-2+10)


También se pueden escribir las sumas aplicando el opuesto a los valores internos del sustraendo:

d) (90-34) - (4-23+12).........................

(90-34) - (4-23+12)

(+56) +op(+4)+op(-23)+op(+12)

56 + (-4) + (+23) + (-12)
Reuniendo los positivos a la izquierda y negativos a la derecha:

56+(+23) +(-4) + (-12)

+79 + (-16)

+63

e) (300-2000) - (-1+23-45)



f) (-50+12)- (36-(-45)+(-2))

Recuerde que : op(op(45))
=op(-45).......
=+45..............

El opuesto del opuesto deja invariante la cantidad, por ejemplo el opuesto del opuesto de 3 es otra vez 3.

1.5.6 Ejercicio: analiza y escribe en tu cuaderno la siguiente proposición y su respectivo mentefacto: "Dentro de la clasificación de los conjuntos numéricos, los números enteros, que son una ampliación de los naturales, se conforman de la unión de los siguientes elementos:

• Los enteros positivos, que se representan con Z⁺ y se extienden del 1 al infinito positivo.

• El cero, que es un elemento neutro.

• Los enteros negativos, que se representan con Z^- y se extienden del -1 al infinito negativo".

Fin del taller.