COMASACA, Matemáticas, GRADO 6 Mañana, TALLER sobre conceptos fundamentales en Z (enteros).

Tema: Operaciones unarias: opuesto y valor absoluto de un número entero.
Propósito: comprender la importancia de las relaciones de orden, opuesto y valor absoluto de números enteros.
Indicador de desempeño: realiza operaciones de suma y resta haciendo uso del cálculo de opuesto y valor absoluto de un número entero.

1. Fase Afectiva.

1.1 Se introducen 5 balotas (bolas plásticas como las de jugar ping pong) en una urna, marcadas con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Sebastián y Julia juegan a sacar dos balotas, una seguida de la otra y restar los números: la primera extraída menos la segunda. Sebastián gana si la resta se puede realizar en los números naturales y Julia gana si se puede realizar en los números enteros.

1.1.1 Escribe todas las posibles sustracciones e indica cuál de ellas se pueden realizar en los números naturales y cúales sólo en los números enteros.

1.1.2 Indica para cuál de los dos es más probable ganar.


1.2 Los números enteros fueron aceptados cuando tuvieron su representación geométrica en la recta numérica. Además, sirvieron para dar solución a ecuaciones como x+5=4, donde x=-1. Soluciona las siguientes ecuaciones mostrando el proceso mediante la aplicación de la propiedad uniforme, cancelativa en naturales, modulativa de la suma y clausurativa en Z, por ejemplo:

.............x+5=4......................Ecuación dada.
.........x+5-5=4-5 ..................Se resta 5 en ambos lados para despejar la incógnita.

...........x+0 = 4-5...................5-5=0 Propiedad cancelativa de la resta en N.
................x =4-5....................x+0= x Propiedad modulativa de la suma.
.................x=-1......................4-5=-1 Propiedad clausurativa en Z.

1.2.1........... x+4=3

1.2.2........... k+5=5

1.2.3........... y+2=1

1.2.4........... 3+x=10

1.2.5........... 2+p+4=5

1.2.6........... x-6= 0

1.2.7........... x-10=-1

1.2.8........... -10+m+1=3-1

1.2.9........... 34-28=x+10

1.2.10........... x+x+x+120= 117

1.3 La balanza que se muestra en la imagen está equilibrada. Si 10 flechas pesan 240 gramos, se puede afirmar que:

a) un rombo pesa 5kg más que una flecha.

b) una flecha pesa igual que un cuadro.

c) el cuadro pesa 8 kg más que la flecha.


1.4 Lectura: Los ceros «imperfectos»

Varias antiguas grandes civilizaciones, como las del Antiguo Egipto, Babilonia, la Antigua Grecia poseen documentos de carácter matemático o astronómico mostrando símbolos indicativos del valor cero; pero por diversas peculiaridades de sus sistemas numéricos, no supieron obtener el verdadero beneficio de este capital descubrimiento.¹

En el Antiguo Egipto se utilizó el signo nfr para indicar el cero (Papiro Boulaq 18, datado ca. 1700 a. C.)

El cero apareció por primera vez en Babilonia en el siglo III a. C., aunque su escritura en tablillas de arcilla se remonta al año 2000 a. C. Los babilonios escribían en arcilla sin cocer, sobre superficies planas o tablillas. Su notación era cuneiforme. En tablillas datadas en el año 1700 a. C. se ven anotaciones numéricas en su particular forma. Los babilonios utilizaban un sistema de base 60. Con su sistema de notación no era posible distinguir el número 23 del 203 o el 2003, aunque esta ambigüedad no pareció preocuparles.

Alrededor del 400 a. C., los babilonios comenzaron a colocar el signo de «dos cuñas» en los lugares donde en nuestro sistema escribiríamos un cero, que se leía «varios». Las dos cuñas no fueron la única forma de mostrar las posiciones del cero; en una tablilla encontrada en Kish, antigua ciudad de Mesopotamia al este de Babilonia, utilizaron un signo de «tres ganchos». Estas tablas están datadas en el 700 a. C. En otras tablillas usaron un solo «gancho» y, en algunos casos, la deformación de este se asemeja a la forma del cero.

Jeroglífico maya para el cero, año 36 a. C. Es el primer uso documentado del cero utilizando notación posicional.

El cero también surgió en Mesoamérica y fue ideado por las civilizaciones mesoamericanas antes de la era cristiana, por la Civilización Maya y, probablemente, fue utilizado antes por la Civilización Olmeca. El primer uso documentado mostrando el número cero corresponde al año 36 a. C., haciendo uso de la numeración Maya.² A causa de la anomalía introducida en el tercer lugar de su notación posicional, les privó de posibilidades operativas.³

Claudio Ptolomeo en el Almagesto, escrito en 130 d. C., usaba el valor de «vacío» o «0». Ptolomeo solía utilizar el símbolo entre dígitos o al final del número. Podríamos pensar que el cero habría arraigado entonces, pero lo cierto es que Ptolomeo no usaba el símbolo como número sino que lo consideraba un signo de anotación. Este uso no se difundió, pues muy pocos se sumaron a él, y fue desvaneciéndose en la Historia.

Los romanos no utilizaron el cero. Sus números eran letras de su alfabeto; para representar cifras usaban: I, V, X, L, C, D, M, agrupándolas. Para números con valores iguales o superiores a 4000, dibujaban una línea horizontal sobre el «número», para indicar que el valor se multiplicaba por 1000.

1.4.1 Teniendo como punto de referencia el nacimiento de Cristo, ubica en una recta numérica los acontecimientos mencionados en la lectura.

Tomado de http://es.wikipedia.org/wiki/Cero

2. FASE COGNITIVA

2.1 Relaciones de Orden.

Ordenar objetos ha sido una actividad humana frecuente en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Esta operación se hace con el objetivo de facilitar la búsqueda de elementos en un conjunto de datos o simplemente para caracterizarlos: antecedente y consecuente.

Los números naturales tienen un orden, a partir de este orden se establece la propiedad de antecedente y consecuente. Por ejemplo el antecedente de 5 es 4 y el consecuente de 5 es 6. Esto es posible debido al orden que tienen. Como vimos, los números enteros tienen una representación en la recta numérica, que debe tener de unidad a unidad la misma distancia y los valores marcados en las particiones, deben tener la misma diferencia. Desde esta claridad, la recta numérica es una herramienta esencial para comprender el orden en los números enteros Z.

De igual manera como los números naturales, en los enteros, estar a la derecha de un número es ser mayor y estar a la izquierda del número es ser menor. Es por eso que 7 es mayor que 5 porque 7 está a la derecha del 5, ó 5 es menor que 7 porque 5 está a la izquierda del 7.

Notación.

Para indicar que un número es mayor que otro usamos el símbolo >, para indicar que un número es menor que otro utilizamaos el símbolo < y para idicar que un número es equivalente a otro usamos el símbolo =.

Ejemplos:

7>5 porque 7 está a la derecha de 5

4<9 porque 4 está a la izquierda del 9

Ahora analicemos estas relaciones de orden en los números negativos. Recordemos que un número negativo posee magnitud y signo, por ejemplo -8 tiene magnitud o distancia 8 y signo negativo.

Al comparar -10 (negativo diez, recuerde leerlo bien y NO como menos diez) con -4 (negativo cuatro) podemos afirmar que -4 es mayor que -10 porque en la recta numérica, -4 está a la derecha del -10, simbólicamente sería:

-4 > -10
ó
-10 < -4

2.1.1 Escriba <, > o = según el caso:

a) 4 __ 6

b) 8__0

c) -2__-1

d) 0__-3

e) -3__+3

f) 4+5 __4+(-5)

g) -234___-233

h)1-100 __1-2000

2.1.2 Ubique en la recta numérica los números a y b si se sabe que:

a) a>b

b) ac, c>b y c<0 ¿cómo son a y b?


2.1.3 Organice de menor a mayor los siguientes números:

a) -6, 7, -4 y 0

b) -34, 28, -1, 7 y 23

c) 4+5, 3-5, 6-12 y 0-4 Realice las operaciones para ordenar los cuatro resultados.


2.2 Distancia de un número entero al origen: Valor absoluto.

En la recta numérica a la ubicación del cero se le conoce como origen. La distancia a la cual se encuentra un número del cero se le llama valor absoluto y se simboliza con dos barras verticales encerrando el número:

│x│

Por ejemplo, cuando se pregunta por la distancia a la cual se encuentra el -5 del cero, se simboliza:

│-5│

Cuyo resultado es de 5. En pocas cuentas es dejar la cantidad que aparece en la parte interna, como positivo, siempre.

Ejemplos:

a) │-4│=4

b) │7│

=7

c) │-4+9│

=│5│
=5

d) 10+│-12│
10 +12
22

e) ││-20│-│250││

=│20-250│

=│-230│

=230

Identificar el valor absoluto de un número entero es de gran importancia en el momento de sumar, situación que veremos más adelante.

2.2.1 Calcular:

a) │20│

b) │-250│

c) │-1500│

d) │-8│+ │-20│

e) ││120-110│-300│


2.3 Opuesto de un número entero.

El opuesto de un número entero es otro número que tiene igual distancia con el cero. Por ejemplo, el opuesto de -5 es +5, pues ambos tienen valor absoluto 5.

Notación

Notación de función: Para indicar que se va a calcular el opuesto de un número, se antecede este de la abreviatura op y entre paréntesis se escribe el número, por ejemplo:

op(-34)

=34

Notación con signo negativo: Para indicar que se va a extraer el opuesto de x se denota con el símbolo -, seguido del número entre paréntesis así:

-(-9)

=+9

Ambas notaciones son válidas, pero es más frecuente la segunda.

2.3.1 Calcular:

a) op(-5)

b) op(45)

c) -(90)

d) -(+90)

e) -(3-5)

f) op( op(-34) )

g) -( -(-78) )


Propiedad del inverso aditivo.

En la solución de ecuaciones se hace necesario aplicar la propiedad uniforme de tal manera que se adiciona en ambos costados el opuesto de una cantidad, para que esta se elimine, es decir, que sume cero, pues ¿qué sucede cuando sumas un número con su opuesto? Veamos:

Por ejemplo, al sumar 3 + op(3):
3 + op(3)

3+(-3)

0

Recuerda que en el diagrama de vectores o flechas, la final coincide con el origen.

Al sumar un número con su opuesto se obtiene cero.

2.3.2 Resolver las ecuaciones adicionando el opuesto de la cantidad que consideres necesaria:ç

a) x+45 =28 Ayuda: Adiciona el opuesto de 45 en ambos lados.

b) m + 78 = 77

c) d +(-3) = 45

d) 128 + f = 18

e) 2h +56 = h+1


Las operaciones valor absoluto y opuesto de un número son unarias, pues transforman una sola cantidad. Para comprenderlo hay que reflexionar acerca de cuántos números se necesitan para hacer una suma, la respuesta es que se necesitan dos cantidades, es por esto que la suma se conoce como operación binaria.

2.4 Suma en números enteros.
Curiosidad matemática: un caracol sube una pared de 6 metros de altura. En el día sube tres metros y en la noche se queda dormido y resbala uno. ¿Al cabo de cuántos días llega a la parte más alta de la pared?

Cómo vimos, la suma en la recta real consistía en dibujar vectores, uno seguido del otro de acuerdo al sentido y magnitud de los sumandos.

Después de tan ámplia exploración geométrica, se hace necesario reflexiones acerca de las siguientes situaciones:

a) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando ambos sumandos son positivos?
b) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando un sumando es positivo y el otro negativo o viceversa?
c) ¿Qué signo tiene el resultado de una suma cuando ambos sumandos son negativos?

Escribe diez sumas de cada caso y argumenta tu respuesta, si es necesario, haz uso de la operación valor absoluto para justificar tu respuesta. Es recomendable que después de obtener tus análisis, los compares con la teoría consultada en libros e internet.

Fin de la guía taller.