COMASACA, GRADO 9°, Tarde Per II Método Eliminación

Método de Eliminación o Reducción.

Consiste en eliminar una de las incógnitas haciendo uso de la propiedad de la adición de la igualdad: al sumar los miembros de dos igualdades, la igualdad permanece. Más claro, si 5=5 y 4=4, entonces 5+4=5+4, que es verdadero. Además del uso del inverso aditivo que afirma que todo número real tiene un inverso aditivo y que al sumar un número con su inverso aditivo se obtiene cero (0), por ejemplo 4 sumado con -4 da 0.

Busquemos que al sumar ambas igualdades se cancele una de las incógnitas, en este caso la m:

Lo que se hizo fue multiplicar la primera ecuación por -1 (propiedad uniforme), de tal manera que la m quede con coeficientes inversos aditivos ( +1 y -1 son inversos aditivos ya que sumados dan 0).

Al sumar la primera ecuación con la segunda ecuación, se obtiene:

de donde

1h + 0m = 54

h=54

La cantidad de hombres es de 54 y la de mujeres es:

54+ m = 111

m= 111-54

m= 57

Por consiguiente hay 57 bombones y 2(54) = 108 bananas para 57 mujeres y 54 hombres.

Es necesario identificar que se repiten unos pasos en éste método, que son:

PASOS SUGERIDOS EN EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

I. Se deben escribir las ecuaciones de la forma ax+by=c. Por ejemplo, si una de las ecuaciones aparece como 2(3x-1) = 3(2y-5), se deben realizar las operaciones necesarias así:

2(3x-1) =3(2y-5)

6x-2=6y-15

6x-6y=-15+2

6x-6y=-13

II. Se debe seleccionar la incógnita a eliminar, realizar las tranformaciones necesarias para que ésta quede en ambas ecuaciones con coeficientes que sean inversos aditivos. Por ejemplo para

(1) 2x-3y=4
(2) 4x+6y=10

Si se quiere eliminar la y, se debe multiplicar la primera ecuación por 2:

(1) 2(2x-3y)= 2(4)
(2) 4x+6y=10

Quedando:

(3) 4x-6y= 8
(2) 4x+6y=10

Es evidente que al sumar ambas ecuaciones, la incógnita y se cancela. Nótese que la ecuación (1) cambió por (3) ya que se amplificó por 2, de tal manera que cambia y es necesario también cambiar su etiqueta.

III. Sumar las ecuaciones y eliminar la incógnita seleccionada:

(3) 4x-6y= 8

(2) 4x+6y=10
---------- ------
4x+4x-6y+6y=18

8x+0y=18

8x=18

x=18/8

x=9/4

El verdadero desafío consiste en identificar los valores por los cuales debe amplificar o simplificar las ecuaciones para que la incógnita seleccionada se cancele.

IV. Reemplazar el valor encontrado en cualquierqa de las ecuaciones originales para despejar la otra incógnita y dar solución al sistema mediante una pareja ordenada (x,y).

Reemplazando 9/4 como valor de x en la primera ecuación, resulta:

2x-3y=4

2(9/4)-3y=4

18/4-3y=4

9/2-3y=4

9/2-4=3y

9/2-8/2=3y

1/2=3y

1/6=y

V. Verificar si son correctos los valores encontrados: para esto cada uno de los valores se reemplazan en ambas ecuaciones de tal manera que si son correctas, se obtienen dos igualdades.

(1) 2(9/4)-3(1/6)=4
(2) 4(9/4)+6(1/6)=10



Solución: (9/4 , 1/6)

Actividad: Resolver cada uno de los siguientes sistemas por el método de eliminación o también llamado método de reducción.

x+y=10
x-y=20



2x+y=-5
3x-y=10



2a-3b=30
-2a+4b=19



2x+5=y
3x+y=1




3(x-1)=y
2(y-1)=x




x=2y
y=2x-3



m+n=100
2m-n=200



3k+5j=10
2k-3j=15



v+2t=2.5
3v-t=-1.5



1/2 a + 3/4 b=1
a+1/4b=-1




x/y=5
x-1=6(y-4)

Resuleva los siguientes problemas mediante el método de eliminación.

1. En un salón de clases hay 45 estudiantes, donde la cantidad de hombre excede en 5 a la cantidad de mujeres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay?

2. En una alcancía hay 120 monedas de 100 y 200. Si en total hay $19.500, ¿cuántas monedas de cada valor hay?

3. El promedio de dos números es 11, si el uno excede al otro en 6 unidades, ¿cuáles son los números?

4. Un rectángulo tiene de largo el triple de su ancho, si su perímetro es 500, ¿qué dimensiones tiene el rectángulo?

5. Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, cumple que el lado desigual es el doble del otro lado. ¿cuánto miden los lados de éste triángulo? Dibújelo.

6. Juan y José apuestan una carrera en sus bicicletas. Juan se ubica a 5 metros antes de la salida y José a 5 metros después de la salida, para darle ventaja. Salen simultáneamente, Juan a 30 km/h y José a 20 Km/h. ¿A qué distancia de la salida se enceuntran y en qué momento?

Por presumir de certero

un tirador atrevido

se encontró comprometido

en el lance que os refiero:

Y fue que ante una caseta

de la feria del lugar

presumió de no fallar

ni un tiro con la escopeta,

y el feriante alzando el gallo

cinco céntimos ofreció pagarle

por cada acierto y cobrarle

a tres céntimos el fallo.

Dieciséis veces tiró

el tirador afamado

al fin dijo, despechado

por los tiros que falló:

“Mala escopeta fue el cebo

y la causa de mi afrenta

pero ajustada la cuenta

ni me debes ni te debo”.

Y todo el que atentamente

este relato siguió

podrá decir fácilmente

cuántos tiros acertó.

Rodríguez Vidal, Rafael - Enjambre Mateático