COMASACA, GRADO 11, Gráficas funciones racionales, Per II.

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Ya hemos visto gráficas de funciones polinómicas y racionales, mediante la tabulación, ubicación de puntos máximos o mínimos, crecientes o decrecientes, etc. En las funciones racionales hemos notado que hay valores críticos para los cuales la función no está definida o indeterminada, que se evidencian en el trazo como la aproximación de la curva a un eje que denominamos asíntota, en la mayoría de los casos. En algunas situaciones vimos como aparecen puntos vacios o de discontinuidad.

El mentefacto conceptual de arriba permite ubicarnos en las funciones, con la intención de calcular los límites o cercanías hacia ciertos valores, sobre todo los que denominamos críticos. Recordemos algunos casos y la manera como hemos caracterizado la gráfica a partir de tabulaciones y determinaciones de éstas cantidades.

Ejemplo: Graficar la función f si:

Solución: Recordemos que una función racional tiene la forma

Donde g(x) y h(x) son expresiones polinómicas y h(x) no puede ser cero. Con esta última condición se establecen los valores críticos de la función, los cuales no se le asignan a la variable x.

Para el caso de:

se nota, por símple inspección, que x no puede tomar el valor de -1 ya que x+1 (el denominador) para x = -1 se convierte en cero. ¿Cómo calcular este valor crítico?
Como x+1 no puede ser cero, se plantea la desigualdad

y se soluciona despejando la incógnita x:

Se realiza entonces una tabulación con valores enteros cercanos a este valor crítico, o sea x= -1:

Luego se empiezan a calcular las imágenes (valores que arroja la función) para cada uno de los valores propuestos de x. Por ejemplo para x=-6:

Nótese que la x se reemplaza por -6 y se indica escribiendo el valor entre paréntesis.

Este valor se va registrando en la tabla de valoresn y así sucesivamente para el resto de cantidades escogidas para x.

Para facilitar la comprensión del "comportamiento de la curva", se procede a ubicar en el plano las parejas ordenadas de la tabla. Nótes que para x=0 arroja el corte de la gráfica con el eje y. Más adelante se calculará el corte con el eje x, haciendo y=0.

Se observa como la gráfica, viéndola de izquierda a derecha, va subiendo a medida que x se acerca a -1 y, ya después de -1, la gráfica viene desde abajo y va subiendo. Lo que sigue es verificar este comportamiento para valores cercanos por la izquierda y por la derecha de -1, también llamados, valores laterales. Para esto se debe hacer una tabulación con cantidades por la izquierda del -1, por ejemplo -1.5, -1.4, -1.3, -1.2, -1.1, -1.01, -1.001, como se muestra en la tabla:

Al ubicar estos valores en el plano cartesiano, se evidencia su comportamiento lateral con respecto al -1 en x.

Significa que cuando x se aproxima al -1 por la izquierda, la función arroja valores positivos y muy grandes, que en notación de Límite se indica así:

Ahaora, cuando los valores de x se aproximan al -1 por la derecha, la función arroja valores negativos muy grandes (nótese que para x=-09, el valor de la función es -37) :

Estas dos conclusiones se denominan Límites Laterales a los Valores Críticos (LLVC).

Para este caso, como la función arroja valores diferentes por ambos lados del -1 en x, se afirma que el límite a ese valor NO existe:

Nótese ahora en la grafica cómo la función, a medida que x toma valores muy grandes hacia la derecha, se acerca al 3 en el eje y:

Para corroborar esto se deben asignar valores muy grandes a la función como 100, 1000, 10.000, etc. así:

Nótese como los valores de la función se acercan al 3 por debajo. Esto significa que el límite de la función cuando x se hace muy grande, es 3 (Recuerde que es el límite y no un valor exacto) y se escribe así:

En la gráfica se puede ver así:

De manera similar para valores de x muy grandes negativamente:

Se puede notar que la función arroja valores cercanos al 3 por encima.

En notación de límite se escribe así:

Estos dos límites se conocen como Límites al Infinito de una Función (LIF). Cabe resaltar que el 3 aparece en la función y coincide con la asíntota horizontal. Edto significa que debe haber una forma para caclular la asíntito horizontal mediante un proceso algebraico, caso que se verá más adelante.

Finalmente la función se ve graficada así:

Todo lo anterior es lo que se debe hacer para caracterizar una función racional.

Véase ahora que la función es creciente desde menos infinito hasta el -1 sin incluilo, esto en notación de intervalo es:

Por otro lado, la función es creciente en el intervalo:

Corte con el eje x: se reemplaza y por cero ( y=0) así:

Significa que corta al eje x en el punto de coordenadas (1/3, 0)

En resumen, para caracterizar la gráfica de una fnción se recomiendan los siguientes pasos:

1. Identificar el tipo de función.
2. Identificar valores críticos.
3. Tabular con valroes enteros cercanos al valor o valores críticos.
4. Graficar los valores de la tabla del punto 3.
5. Tabular con valores laterales al punto o puntos críticos.
6. Graficar los valores de la tabla del punto 5.
7. Escribir en notación de límite las conclusiones de los valores laterales.
8. Tabular para valores muiy grandes negativos y muy grandes positivos.
9. Representar los valores dela tabla del punto 8.
10. Concluir en notación de límite las tabulaciones al infinito engativo y positivo.
11. Realizar la gráfica final.
12. Indicar intervalos de crecimiento o decrecimiento.
13. Calcular los puntos de corte con los ejes.

Graficar: