COMASACA, GRADO 9°, Tarde Per II Método Eliminación

Método de Eliminación o Reducción.

Consiste en eliminar una de las incógnitas haciendo uso de la propiedad de la adición de la igualdad: al sumar los miembros de dos igualdades, la igualdad permanece. Más claro, si 5=5 y 4=4, entonces 5+4=5+4, que es verdadero. Además del uso del inverso aditivo que afirma que todo número real tiene un inverso aditivo y que al sumar un número con su inverso aditivo se obtiene cero (0), por ejemplo 4 sumado con -4 da 0.

Busquemos que al sumar ambas igualdades se cancele una de las incógnitas, en este caso la m:

Lo que se hizo fue multiplicar la primera ecuación por -1 (propiedad uniforme), de tal manera que la m quede con coeficientes inversos aditivos ( +1 y -1 son inversos aditivos ya que sumados dan 0).

Al sumar la primera ecuación con la segunda ecuación, se obtiene:

de donde

1h + 0m = 54

h=54

La cantidad de hombres es de 54 y la de mujeres es:

54+ m = 111

m= 111-54

m= 57

Por consiguiente hay 57 bombones y 2(54) = 108 bananas para 57 mujeres y 54 hombres.

Es necesario identificar que se repiten unos pasos en éste método, que son:

PASOS SUGERIDOS EN EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN

I. Se deben escribir las ecuaciones de la forma ax+by=c. Por ejemplo, si una de las ecuaciones aparece como 2(3x-1) = 3(2y-5), se deben realizar las operaciones necesarias así:

2(3x-1) =3(2y-5)

6x-2=6y-15

6x-6y=-15+2

6x-6y=-13

II. Se debe seleccionar la incógnita a eliminar, realizar las tranformaciones necesarias para que ésta quede en ambas ecuaciones con coeficientes que sean inversos aditivos. Por ejemplo para

(1) 2x-3y=4
(2) 4x+6y=10

Si se quiere eliminar la y, se debe multiplicar la primera ecuación por 2:

(1) 2(2x-3y)= 2(4)
(2) 4x+6y=10

Quedando:

(3) 4x-6y= 8
(2) 4x+6y=10

Es evidente que al sumar ambas ecuaciones, la incógnita y se cancela. Nótese que la ecuación (1) cambió por (3) ya que se amplificó por 2, de tal manera que cambia y es necesario también cambiar su etiqueta.

III. Sumar las ecuaciones y eliminar la incógnita seleccionada:

(3) 4x-6y= 8

(2) 4x+6y=10
---------- ------
4x+4x-6y+6y=18

8x+0y=18

8x=18

x=18/8

x=9/4

El verdadero desafío consiste en identificar los valores por los cuales debe amplificar o simplificar las ecuaciones para que la incógnita seleccionada se cancele.

IV. Reemplazar el valor encontrado en cualquierqa de las ecuaciones originales para despejar la otra incógnita y dar solución al sistema mediante una pareja ordenada (x,y).

Reemplazando 9/4 como valor de x en la primera ecuación, resulta:

2x-3y=4

2(9/4)-3y=4

18/4-3y=4

9/2-3y=4

9/2-4=3y

9/2-8/2=3y

1/2=3y

1/6=y

V. Verificar si son correctos los valores encontrados: para esto cada uno de los valores se reemplazan en ambas ecuaciones de tal manera que si son correctas, se obtienen dos igualdades.

(1) 2(9/4)-3(1/6)=4
(2) 4(9/4)+6(1/6)=10



Solución: (9/4 , 1/6)

Actividad: Resolver cada uno de los siguientes sistemas por el método de eliminación o también llamado método de reducción.

x+y=10
x-y=20



2x+y=-5
3x-y=10



2a-3b=30
-2a+4b=19



2x+5=y
3x+y=1




3(x-1)=y
2(y-1)=x




x=2y
y=2x-3



m+n=100
2m-n=200



3k+5j=10
2k-3j=15



v+2t=2.5
3v-t=-1.5



1/2 a + 3/4 b=1
a+1/4b=-1




x/y=5
x-1=6(y-4)

Resuleva los siguientes problemas mediante el método de eliminación.

1. En un salón de clases hay 45 estudiantes, donde la cantidad de hombre excede en 5 a la cantidad de mujeres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay?

2. En una alcancía hay 120 monedas de 100 y 200. Si en total hay $19.500, ¿cuántas monedas de cada valor hay?

3. El promedio de dos números es 11, si el uno excede al otro en 6 unidades, ¿cuáles son los números?

4. Un rectángulo tiene de largo el triple de su ancho, si su perímetro es 500, ¿qué dimensiones tiene el rectángulo?

5. Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, cumple que el lado desigual es el doble del otro lado. ¿cuánto miden los lados de éste triángulo? Dibújelo.

6. Juan y José apuestan una carrera en sus bicicletas. Juan se ubica a 5 metros antes de la salida y José a 5 metros después de la salida, para darle ventaja. Salen simultáneamente, Juan a 30 km/h y José a 20 Km/h. ¿A qué distancia de la salida se enceuntran y en qué momento?

Por presumir de certero

un tirador atrevido

se encontró comprometido

en el lance que os refiero:

Y fue que ante una caseta

de la feria del lugar

presumió de no fallar

ni un tiro con la escopeta,

y el feriante alzando el gallo

cinco céntimos ofreció pagarle

por cada acierto y cobrarle

a tres céntimos el fallo.

Dieciséis veces tiró

el tirador afamado

al fin dijo, despechado

por los tiros que falló:

“Mala escopeta fue el cebo

y la causa de mi afrenta

pero ajustada la cuenta

ni me debes ni te debo”.

Y todo el que atentamente

este relato siguió

podrá decir fácilmente

cuántos tiros acertó.

Rodríguez Vidal, Rafael - Enjambre Mateático

COMASACA, GRADO 9°, NÚMEROS COMPLEJOS

Por favor hacer click en este vínculo para ir a la actividad:



http://semillerosucm.wordpress.com/2011/06/01/

COMASACA, GRADO 11, Graficas funciones racionales, periodo II

Graficar:

Solución:


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http://semillerosucm.wordpress.com/2011/06/01/comasaca-tarde-grado-11-caracterizando-graficas-de-funciones-matematicas/

COMASACA, GRADO 9, Taller Función cuadrática, periodo III

1. Indique el vértice de la parábola cuya ecuación es:

(a) y=x²+4x+4

(b) y= x²+12x+36

(c) y=(x+3)(x-4) Nota: realice el producto.

(d) y= (x+1)² + (x-1)² Nota: Realice las potencias, simplifique y llegue a la forma polinómica.

(e) 3(y-1) = 2(x-8)² llegue a la forma polinómica.

(f) 4y-8 = 4x-80+4x²

COMASACA, GRADO 9 MAÑANA, Función cuadrática, Taller, Per III.

Ejercicios.

1. Indique, a partir de la ecuación, el vértice de la gráfica de la parábola que representa:

a) y+4=(x-3)²

b) y-3=(x+10)²

c) y+1/2 = (x-3/4)²


2. Escribir cada una de las siguientes ecuaciones en la forma polinómica e identificar en ella el punto de corte de la gráfica con el eje x:

a) y+7=(x-2)²

b) y-30=(x-20)²

c) y-0,3 = (x - 0,5)²


3. Identificar los cortes de la gráfica con el eje x si su ecuación es:

a) y+4=(x-3)²

b) y-3=(x+11)²

c) y = (x-50)²-144


4. Calcular las coordenadas del vértice de la parábola cuya ecuación es:

a) y= x²-16x+67

b) y=x²-10x+16

c) y= x²-24x+108

d) y= (4/3) x² -(20/3) x +13/3 Nota:Recuerde dejar el término cuadrático con coeficiente 1, dividiendo toda la ecuación en 4/3.

e) y= 2x²+4x-10 Nota:Recuerde dejar el término cuadrático con coeficiente 1, dividiendo toda la ecuación por 2


5. Graficar las ecuaciones a, b y c del problema 4.


6. Resolver el siguiente problema:El área de un rectángulo es 24 y su perímetro es 20 cm. Calcular la medida de sus lados.


7. Solucionar el sistema de ecuaciones

(1) xy=-50
(2) x+3y=6

Nota: despeje y en (2) y reemplácela en (1), luega escriba la ecuación resultante en la forma ax²+bx+c=0, luego despeje x con el método de completar el TCP.

COMASACA, GRADO 11, Gráficas funciones racionales, Per II.

Dar clic encima para ver la imagen claramente.

Ya hemos visto gráficas de funciones polinómicas y racionales, mediante la tabulación, ubicación de puntos máximos o mínimos, crecientes o decrecientes, etc. En las funciones racionales hemos notado que hay valores críticos para los cuales la función no está definida o indeterminada, que se evidencian en el trazo como la aproximación de la curva a un eje que denominamos asíntota, en la mayoría de los casos. En algunas situaciones vimos como aparecen puntos vacios o de discontinuidad.

El mentefacto conceptual de arriba permite ubicarnos en las funciones, con la intención de calcular los límites o cercanías hacia ciertos valores, sobre todo los que denominamos críticos. Recordemos algunos casos y la manera como hemos caracterizado la gráfica a partir de tabulaciones y determinaciones de éstas cantidades.

Ejemplo: Graficar la función f si:

Solución: Recordemos que una función racional tiene la forma

Donde g(x) y h(x) son expresiones polinómicas y h(x) no puede ser cero. Con esta última condición se establecen los valores críticos de la función, los cuales no se le asignan a la variable x.

Para el caso de:

se nota, por símple inspección, que x no puede tomar el valor de -1 ya que x+1 (el denominador) para x = -1 se convierte en cero. ¿Cómo calcular este valor crítico?
Como x+1 no puede ser cero, se plantea la desigualdad

y se soluciona despejando la incógnita x:

Se realiza entonces una tabulación con valores enteros cercanos a este valor crítico, o sea x= -1:

Luego se empiezan a calcular las imágenes (valores que arroja la función) para cada uno de los valores propuestos de x. Por ejemplo para x=-6:

Nótese que la x se reemplaza por -6 y se indica escribiendo el valor entre paréntesis.

Este valor se va registrando en la tabla de valoresn y así sucesivamente para el resto de cantidades escogidas para x.

Para facilitar la comprensión del "comportamiento de la curva", se procede a ubicar en el plano las parejas ordenadas de la tabla. Nótes que para x=0 arroja el corte de la gráfica con el eje y. Más adelante se calculará el corte con el eje x, haciendo y=0.

Se observa como la gráfica, viéndola de izquierda a derecha, va subiendo a medida que x se acerca a -1 y, ya después de -1, la gráfica viene desde abajo y va subiendo. Lo que sigue es verificar este comportamiento para valores cercanos por la izquierda y por la derecha de -1, también llamados, valores laterales. Para esto se debe hacer una tabulación con cantidades por la izquierda del -1, por ejemplo -1.5, -1.4, -1.3, -1.2, -1.1, -1.01, -1.001, como se muestra en la tabla:

Al ubicar estos valores en el plano cartesiano, se evidencia su comportamiento lateral con respecto al -1 en x.

Significa que cuando x se aproxima al -1 por la izquierda, la función arroja valores positivos y muy grandes, que en notación de Límite se indica así:

Ahaora, cuando los valores de x se aproximan al -1 por la derecha, la función arroja valores negativos muy grandes (nótese que para x=-09, el valor de la función es -37) :

Estas dos conclusiones se denominan Límites Laterales a los Valores Críticos (LLVC).

Para este caso, como la función arroja valores diferentes por ambos lados del -1 en x, se afirma que el límite a ese valor NO existe:

Nótese ahora en la grafica cómo la función, a medida que x toma valores muy grandes hacia la derecha, se acerca al 3 en el eje y:

Para corroborar esto se deben asignar valores muy grandes a la función como 100, 1000, 10.000, etc. así:

Nótese como los valores de la función se acercan al 3 por debajo. Esto significa que el límite de la función cuando x se hace muy grande, es 3 (Recuerde que es el límite y no un valor exacto) y se escribe así:

En la gráfica se puede ver así:

De manera similar para valores de x muy grandes negativamente:

Se puede notar que la función arroja valores cercanos al 3 por encima.

En notación de límite se escribe así:

Estos dos límites se conocen como Límites al Infinito de una Función (LIF). Cabe resaltar que el 3 aparece en la función y coincide con la asíntota horizontal. Edto significa que debe haber una forma para caclular la asíntito horizontal mediante un proceso algebraico, caso que se verá más adelante.

Finalmente la función se ve graficada así:

Todo lo anterior es lo que se debe hacer para caracterizar una función racional.

Véase ahora que la función es creciente desde menos infinito hasta el -1 sin incluilo, esto en notación de intervalo es:

Por otro lado, la función es creciente en el intervalo:

Corte con el eje x: se reemplaza y por cero ( y=0) así:

Significa que corta al eje x en el punto de coordenadas (1/3, 0)

En resumen, para caracterizar la gráfica de una fnción se recomiendan los siguientes pasos:

1. Identificar el tipo de función.
2. Identificar valores críticos.
3. Tabular con valroes enteros cercanos al valor o valores críticos.
4. Graficar los valores de la tabla del punto 3.
5. Tabular con valores laterales al punto o puntos críticos.
6. Graficar los valores de la tabla del punto 5.
7. Escribir en notación de límite las conclusiones de los valores laterales.
8. Tabular para valores muiy grandes negativos y muy grandes positivos.
9. Representar los valores dela tabla del punto 8.
10. Concluir en notación de límite las tabulaciones al infinito engativo y positivo.
11. Realizar la gráfica final.
12. Indicar intervalos de crecimiento o decrecimiento.
13. Calcular los puntos de corte con los ejes.

Graficar: