Grado 10º Circunferencia circunscrita a un triángulo.

Cicunscribir una circunferencia a un triángulo dado no lleva el mismo proceso que inscribir un triángulo a una circunferencia. Este y gran cantidad de situaciones entre figuras inscritas y circunscritas fueron registrados por Euclide en su libro Los Elementos, específicamente en el IV libro.

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http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File%3ALos_Elementos_de_Euclides_%281576%29_-_Libro_IV.pdf&page=4

Recuerden que Euclides fue un matemático, entre otras ciencias que dominaba, del 300 a. C.

Para circunscribir una circunferencia a un triángulo dado, es necesario trazar líneas rectas perpendiculares en los puntos medios de sus lados, esta recta recibe el nombre de Mediatriz. En resumen, donde se corten la mediatrices de los lados, estará lo que se llama circuncentro.

Al trazar los radios de la circunferencia a cada uno de los vértices del triángulo, se obtiene la siguiente figura:

Donde R es el radio de la circunferencia circunscrita de centro O; a, b y c las longitudes de sus lados y Alfa (el signo en color verde) el ángulo A. Para comprender que alfa se duplica en el triángulo BOC, es necesario saber que BOC es n ángulo central y BAC es un ángulo inscrito, donde el ángulo central tiene un valor igual al doble del ángulo inscrito. Analice la siguiente gáfica donde se explica esta relación de uno a dos (doble).













El ángulo PQR está inscrito en la circunferencia que suponemos de centro O.










El ángulo POR es central porque tiene su vértice en el centro O de la circunferencia.

















Nótece que el triángulo BOC es isósceles cuyos lados de igual medida miden R (Radio de la circunferencia circunscrita) Al trazar su altura desde el centro O divide al ángulo 2 alfa en alfa y alfa. Al aplicar Sen (Alfa) se obtiene:

Sen(Alfa) = (a/2) / R

Sen(Alfa) = a/2R

Como Alfa=A entonces queda:

Sen(A) = a/2R


Ahora, al aplicar la ley de Senos en el triángulo ABC se obtiene:


a/Sen(A) = b/Sen (B) = c/Sen(C)

Reemplazando en la anterior ley se obtiene:

a/ a/2R = b/Sen (B) = c/Sen(C)

Cancelando a se tiene que:

2R = b/Sen (B) = c/Sen(C)

Ahora, al calcular el área del triángulo ABC desde c y b se obtiene:

Area= 1/2 bc Sen(A)

Como Sen (A) = a/2R se tiene que:

Area= 1/2 bc (a/2R) simplificando:

Area= abc /4R

Esta demostración y sus fórmulas les permite resolver los problemas 9 y 10.