Propósito: Reconocer el origen de los números enteros como una necesidad del ser humano en sus procesos de comercio y cálculos matemáticos.
Habilidad o competencia: valorar el uso de números enteros en la solución de problemas que impliquen su representación gráfica, el cálculo de valor absoluto y opuesto de un número.
Historia de los números enteros.
Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.
Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.
En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.
El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.
Fragmento tomado de: Historia de los números enteros.
Fragmento tomado de: Historia de los números enteros.
Ejercicio 1: Responde los siguientes interrogantes a partir de la lectura anterior.
1.1 Según los chinos, ¿por qué surgieron los números enteros?
1.2 Dibuja en tu cuaderno la manera como crees que los chinos representaban la operación: tener 200 y deber 210, haciendo uso de los bastoncillos.
1.3 ¿Por qué crees que los antiguos griegos rechazaron la existencia de los números enteros?
1.4 Explica como la actividad de la contabilidad ayudó a la introducción de los números enteros en las matemáticas.
1.5 Escribe una situación con su operación, en la que tu creas que se utilizaron los números enteros por los comerciantes alemanes del siglo XV.
1.6 ¿Qué entiendes por "opuestos de los positivos? ¿Cuál es el opueso de 500?
Ejercicio 2: Escribe la operación matemática o cantidad numérica, según el caso, que representa la situación dada, haga uso de números enteros.
2.1 Deber $10.000 Respuesta: Se representa con el número -10.000
2.2 Tener $500
2.3 Sacar $200.000 del banco cuando sólo se tienen depositados $180.000
2.4 Avanzar a la izquierda 10 metros. (Dibujar recta numérica)
2.5 Avanzar a la derecha 50 metros.
2.6 Bajar 4 metros.
2.7 Subir 8 m.
2.8 Avanzar a la izquierda 6m y luego bajar 3m.
Ejercicio 3: Ubique en una misma recta numérica los conjuntos de números que se indican.
Nota: el desafio cognitivo aquí es usar la escala adecuada de tal manera que se puedan representar todos los numéros indicados, con la mayor precisión posible.
3.1)........ 4, -3 y 0
3.2)........ -5, 10 y 50
3.3)........ -300, 200 y 100
3.4)........ -45, 30 y 28
Ejercicio 4: Escriba la suma que se representa en cada gráfica.
Nota: para observar la gráfica con mayor claridad, dar clic en la imagen.
Ejercicio 5: Represente en la recta real las siguientes expresiones:
5.1 El número -6
5.2 El número +8
5.3 La operación 4+(-3)
5.4 La operación -40+(20) Nota: haga la escala de 10 en 10
5.5 La operación 35+(-10)+20 Nota: haga la escala de 5 en 5.
5.6 La operación -1200+(-1500)
Ejercicio 6: Resuelve los siguientes problemas.
6.1 Camilo tenía en su alcancía cierta cantidad de dinero, sólo recuerda que al pagar una deuda de 12.000 pesos con ese monto, se quedo vacía la alcancía. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado?
6.2 La casa de Dario se encuentra entre un colegio y el centro de salud. Los tres sitios están en la orilla de una carretera recta de tal manera que la casa de Dario hace que los otros dos estén a distancias opuestas. Si la distancia entre el centro de salud y el colegio es de 600 metros, ¿a qué distancia se encuentra Dario de los dos lugares? Nota: construir un dibujo a escala.
6.3 Según la gráfica de abajo, los puntos A y B no están:
a) igualmente distanciados b) equidistantes c) en la parte positiva
6.4 ¿A qué distancia se encuentran los puntos A y B con respecto al cero?
6.5
1.4 Explica como la actividad de la contabilidad ayudó a la introducción de los números enteros en las matemáticas.
1.5 Escribe una situación con su operación, en la que tu creas que se utilizaron los números enteros por los comerciantes alemanes del siglo XV.
1.6 ¿Qué entiendes por "opuestos de los positivos? ¿Cuál es el opueso de 500?
Ejercicio 2: Escribe la operación matemática o cantidad numérica, según el caso, que representa la situación dada, haga uso de números enteros.
2.1 Deber $10.000 Respuesta: Se representa con el número -10.000
2.2 Tener $500
2.3 Sacar $200.000 del banco cuando sólo se tienen depositados $180.000
2.4 Avanzar a la izquierda 10 metros. (Dibujar recta numérica)
2.5 Avanzar a la derecha 50 metros.
2.6 Bajar 4 metros.
2.7 Subir 8 m.
2.8 Avanzar a la izquierda 6m y luego bajar 3m.
Ejercicio 3: Ubique en una misma recta numérica los conjuntos de números que se indican.
Nota: el desafio cognitivo aquí es usar la escala adecuada de tal manera que se puedan representar todos los numéros indicados, con la mayor precisión posible.
3.2)........ -5, 10 y 50
3.3)........ -300, 200 y 100
3.4)........ -45, 30 y 28
Ejercicio 4: Escriba la suma que se representa en cada gráfica.
Nota: para observar la gráfica con mayor claridad, dar clic en la imagen.
Ejercicio 5: Represente en la recta real las siguientes expresiones:
5.1 El número -6
5.2 El número +8
5.3 La operación 4+(-3)
5.4 La operación -40+(20) Nota: haga la escala de 10 en 10
5.5 La operación 35+(-10)+20 Nota: haga la escala de 5 en 5.
5.6 La operación -1200+(-1500)
Ejercicio 6: Resuelve los siguientes problemas.
6.1 Camilo tenía en su alcancía cierta cantidad de dinero, sólo recuerda que al pagar una deuda de 12.000 pesos con ese monto, se quedo vacía la alcancía. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado?
6.2 La casa de Dario se encuentra entre un colegio y el centro de salud. Los tres sitios están en la orilla de una carretera recta de tal manera que la casa de Dario hace que los otros dos estén a distancias opuestas. Si la distancia entre el centro de salud y el colegio es de 600 metros, ¿a qué distancia se encuentra Dario de los dos lugares? Nota: construir un dibujo a escala.
6.3 Según la gráfica de abajo, los puntos A y B no están:
a) igualmente distanciados b) equidistantes c) en la parte positiva 6.4 ¿A qué distancia se encuentran los puntos A y B con respecto al cero?
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