COMASACA Grado 6, Periodo I Números Naturales y Enteros.

TEMA: NUMEROS NATURALES COMO ENTEROS POSITIVOS

Propósito: Comprender el origen de los números enteros y su relación con el conjunto de los números Naturales.

Habilidad o Competencia: Utilizo igualdades para representar situaciones y en ellas plantear y resolver problemas , encontrando el valor numérico de las incógnitas.

1. FASE EXPRESIVA

Actividad de Motivación

Antes de conocer el origen de los números naturales y enteros, es necesario que reconozcas las situaciones y actividades donde has hecho uso de ellos. Para esto, resuelve los siguientes ejercicios.

1.1 El lunes, Daniel compra una libra de azúcar y una libra de café, pagándo por la compra 5.000 pesos. Si la libra de café está a $3.800, ¿que valor se puede caclcular con esta información? Calcúlala.

1.2 El profesor de matemáticas reparte a sus 20 estudiantes, los números de 1 al 20, escritos en un pedazo de papel. Le pide al estudiante que tiene el número 1 que se reúna con el estudiante que tiene el número 20, al que tiene el número 2 que se reúna con el que tiene el número 19 y así sucesivamente. Luego pide que las parejas digan el resultado de la suma de sus números. Escribe la suma que cada pareja dice tener. ¿Es la misma? ¿Cómo se explica esto?

1.3 Busca una estrategia como la del problema anterior para sumar los números del 1 al 100, ¿qué resultado obtienes? Haz lo posible para sumar los números del 1 al 1.000

1.4 Piensa en el mensaje que recibes de la imagen que aparece en la habilidad o competencia, escríbelo.

2. FASE COGNITIVA

Origen de los Números Naturales.


Los números naturales tienen su origen en una necesidad tan antigua como las primeras civilizaciones: la necesidad de contar.

El hombre primitivo identificaba objetos con características iguales y podía distinguir entre uno y muchos; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista. Por ello, empezó a representar las cantidades haciendo marcas en huesos, trozos de madera o piedra. Por cada objeto observado, colocaba una marca que fuera familiar, así concibió la idea del número.

Para contar también utilizó su propio cuerpo: los dedos de la mano, los de los pies, los brazos, las piernas, el torso y la cabeza, las falanges y las articulaciones.

3. EJERCITACIÓN

3.1 Realizar las siguientes sumas.

a) 45+46+47+48+49+50+51+52+53+54+55+56

b) 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24

c) Los números desde el 102 hasta el 130 de dos en dos.

d) Los números del 5 en 5 a partir del 20 y terminando en el 105.

3.2 Represente en la recta real las siguientes sumas:

a) 3+(+5)

b) 4+(+1)

c) -3+(+4)

d) -3+4

e) 40+(-10)

f) 500+(-600)

g) -34 + (-16)

h) -2+(-3)+(-12)

3.3 Escriba en palabras las siguientes sumas:

a) 3+(+3) Solución: tres más positivo 3

b) -5+(-3)

c) -8+(-34)

d) 2536+(-1284)

e) -a+(b)

f) -a +(+b)

3.4 Escriba el paréntesis donde haga falta.

a) -4 + -7

b)++4+-4

c) 23+-56++78

d) +-23+-45+45

El opuesto aditivo de una cantidad de puede escribir así: op(x), donde x es la cantidad. Por ejemplo el opuesto aditivo de 5 es negativo 5 o sea:

op(5)=-5

3.5 Calcular

a) op(4)

b) op(-8)

c) op (-34)

d) op( -5+(-6) ) Nota: realice primero lo que aparece en la parte interna de paréntesis.

e) op(-3) + op(6) +(-12)

Una máquina imaginaria funciona tragando números enteros para convertirlos sólo en enteros positivos, por ejemplo si se traga el -8 saca positivo 8, si se traga el 90 saba el mismo 90. En resumidas cuentas convierte el número que se traga SIEMPRE en positivo. Denotaremos la acción tragar mediante la expresión tragar(número), por ejemplo tragar(4) es equivalente a 4 y tragar(-9) es equivalente a +9.

3.6 Calcular, de acuerdo a la información suministrada.

a) tragar(7)

b) tragar (-5)

c) tragar(-100)+op(-5)

d) tragar(2) + tragar(-2)

e) tragar( 3+(-5))

f) tragar (-56+(-90)) +(-56)

g) tragar( 5+tragar(-23) )

h) tragar(tragar(tragar(5+(-45))))

3.7 Escriba la suma que se representa en cada gráfico y complete la expresión con el valor que hace falta.

3.8 Si a=-3 y b=+2, calcular:

a) a+b

b) 4+b

c) a+6+a+b+b

d) a+a+a+b+b+b+(-100)

e) tragar(a)+tragar(b)

f) op(a) + op(b)

Exitos en la realización del taller. Recuerda que cualquier inquietud, si está a mi alcance, me puedes escríbir a camaos2004.

Comasaca, Grado 7 Mañana, Conceptos fundamentales Números Enteros.

Tema: Números enteros, origen y conceptos fundamentales.

Propósito: Reconocer el origen de los números enteros como una necesidad del ser humano en sus procesos de comercio y cálculos matemáticos.

Habilidad o competencia: valorar el uso de números enteros en la solución de problemas que impliquen su representación gráfica, el cálculo de valor absoluto y opuesto de un número.

Historia de los números enteros.

Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar, en especial, cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.

Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.

En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas.

El alemán Michael Stifel (1487-1567), monje agustino convertido al protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los signos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo, la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como opuestos de los positivos.
Fragmento tomado de: Historia de los números enteros.

Ejercicio 1: Responde los siguientes interrogantes a partir de la lectura anterior.

1.1 Según los chinos, ¿por qué surgieron los números enteros?

1.2 Dibuja en tu cuaderno la manera como crees que los chinos representaban la operación: tener 200 y deber 210, haciendo uso de los bastoncillos.

1.3 ¿Por qué crees que los antiguos griegos rechazaron la existencia de los números enteros?

1.4 Explica como la actividad de la contabilidad ayudó a la introducción de los números enteros en las matemáticas.

1.5 Escribe una situación con su operación, en la que tu creas que se utilizaron los números enteros por los comerciantes alemanes del siglo XV.

1.6 ¿Qué entiendes por "opuestos de los positivos? ¿Cuál es el opueso de 500?

Ejercicio 2: Escribe la operación matemática o cantidad numérica, según el caso, que representa la situación dada, haga uso de números enteros.

2.1 Deber $10.000 Respuesta: Se representa con el número -10.000
2.2 Tener $500
2.3 Sacar $200.000 del banco cuando sólo se tienen depositados $180.000
2.4 Avanzar a la izquierda 10 metros. (Dibujar recta numérica)
2.5 Avanzar a la derecha 50 metros.
2.6 Bajar 4 metros.
2.7 Subir 8 m.
2.8 Avanzar a la izquierda 6m y luego bajar 3m.

Ejercicio 3: Ubique en una misma recta numérica los conjuntos de números que se indican.

Nota: el desafio cognitivo aquí es usar la escala adecuada de tal manera que se puedan representar todos los numéros indicados, con la mayor precisión posible.

3.1)........ 4, -3 y 0
3.2)........ -5, 10 y 50
3.3)........ -300, 200 y 100
3.4)........ -45, 30 y 28

Ejercicio 4: Escriba la suma que se representa en cada gráfica.
Nota: para observar la gráfica con mayor claridad, dar clic en la imagen.


Ejercicio 5: Represente en la recta real las siguientes expresiones:

5.1 El número -6

5.2 El número +8

5.3 La operación 4+(-3)

5.4 La operación -40+(20) Nota: haga la escala de 10 en 10

5.5 La operación 35+(-10)+20 Nota: haga la escala de 5 en 5.

5.6 La operación -1200+(-1500)

Ejercicio 6: Resuelve los siguientes problemas.

6.1 Camilo tenía en su alcancía cierta cantidad de dinero, sólo recuerda que al pagar una deuda de 12.000 pesos con ese monto, se quedo vacía la alcancía. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado?

6.2 La casa de Dario se encuentra entre un colegio y el centro de salud. Los tres sitios están en la orilla de una carretera recta de tal manera que la casa de Dario hace que los otros dos estén a distancias opuestas. Si la distancia entre el centro de salud y el colegio es de 600 metros, ¿a qué distancia se encuentra Dario de los dos lugares? Nota: construir un dibujo a escala.

6.3 Según la gráfica de abajo, los puntos A y B no están:
a) igualmente distanciados b) equidistantes c) en la parte positiva

6.4 ¿A qué distancia se encuentran los puntos A y B con respecto al cero?
6.5

COMASACA, Grado 11, Interpretación de la DERIVADA de una función matemática.

Tema: intepretación gráfica de la derivada de una función.

Propósito: interpretar gráficamente la derivada de una función, identificar su necesidad de creación y reconocer sus aplicaciones en las matemáticas y otras ciencias.

Síntesis histórica de la función derivada

Desde los griegos, se plantearon cuatro problemas fundamentales que al ser resueltos en el s XVI-XVII, dieron vida a la función derivada, fueron ellos: El de la velocidad, el de la recta tangente, el de área bajo una curva y el de máximos y mínimos. Entre los trabajos destacados en la cultura griega, respecto a los procesos de variación se encuentran los de: Zenón de Elea 450 a.C., de la escuela Eleática, para quien el movimiento era imposible y consideraba que el espacio y el tiempo eran infinitamente divisibles. De él son famosas sus paradojas: La del movimiento, la de Aquiles, la de la flecha y la del tiempo. Luego está la escuela de los atomistas:

Leucipio, Demócrito y Jenofonte, s. V y s IV a.C., quienes se preocuparon por atacar el idealismo de la escuela Eleática, centrándose en el otro extremo, el materialismo. Para esta escuela el movimiento correspondía a la interacción de los átomos y de alguna forma concibieron el movimiento como una relación del espacio y el tiempo. En el s. IV a. C aparece Eudoxio, considerado el padre de la astronomía, por lo tanto en su trabajo el movimiento era muy importante. En 370 a. C. logra plasmar su trabajo escrito sobre el método de exhausión, el cual era un método riguroso y esencialmente geométrico de hallar el área bajo una curva a través de polígonos inscritos y circunscritos, logra por este método hallar el área de un círculo. Este método posteriormente fue utilizado por Arquímedes (287-212 a. C.), considerado por algunos como uno de los tres matemáticos más brillantes de la historia, junto con Newton y Gauss, trabajó en matemática pura y aplicada, continuó con el método de exhausión y logró avances significativos en áreas bajo curvas, demostró por series el área de una región de parábola y otras regiones, trabajó en el movimiento y al igual que sus antecesores la intuición fue de vital importancia para su trabajo.

Es evidente que los anteriores nombres hacen parte de los matemáticos griegos que lograron avances significativos en la geometría y en la aritmética, también lo es la dificultad que tuvieron para trabajar con el infinito y el hecho de que si los matemáticos griegos y filósofos como Platón y Aristóteles hubiesen seguido el camino de Arquímedes y no solo el de Euclides, el desarrollo de las matemáticas se hubiese adelantado varios siglos.

Tomado de:
http://www.pedagogica.edu.co/revistas/ojs/index.php/TED/article/viewDownloadInterstitial/261/252

1. Conocimientos previos.

Antes de iniciar, recordemos que se debe tener un nivel satisfactorio en el cálculo de la derivada de una función polinómica por medio del cociente de Newton. En consecuencia, raliza los siguientes ejercicios.


1.1 f(x)=2x-3

1.2 f(x)=5-4x

1.3 f(x)=x(x+1)

1.4 f(x)=x² Solución:



1.5 f(x)= x²-2x+3

1.6 f(x) = x³-x²+x-4

2. Recta tangente a una curva.

Tratemos ahora uno de los problemas de la antiguedad: la recta tangente a una curva. Para iniciar, recordemos las posiciones relativas de una recta en el plano con respecto a una curva dada.

Recta secante a una curva.

Una recta es secante a una curva cuando la corta en dos o más puntos. En la imagen, la recta en color verde es secante a la curva en color azul.

2.1 Ejercicio: marca la opción correcta según el problema que se menciona en la imagen.

Recta tangente a una curva.

La recta secante se transforma en recta tangente cuando los dos puntos de corte se van acercando uno al otro hasta convertirse en uno solo, el punto de tangencia.

Significa que la recta tangente toca a la curva en un solo punto.

¿Dónde radica la importancia de ubicar la recta tangente a una curva?

Veamos gráficamente cómo se comporta la recta tangente a una curva a medida que el punto de tangencia cambia. Recordemos que los puntos altos y bajos de una curva se llaman picos o puntos máximos y mínimos (recordemos que esto fue un problema del siglo XV-XVI que llamó la atención de Pierre Fermat: visitar http://redalyc.uaemex.mx/pdf/695/69520207.pdf, no desde una función como tal sino como un problema geométrico en el cual se debía encontrar un punto P en un segmento AB, tal que el producto de las dos longitudes obtenidas sea el máximo).

Aparte del documento en línea sobre la derivada para Fermat.

Retomando la situación del punto P en un segmento AB, supongamos que el segmento mide 10 cm.

Llamemos M el producto entre AP y PB, entonces:

M = AP PB

M = (y-x) ( x)

M = xy - x²

Como y=10 cm. entonces:

M= x(10) -(10)²

M= 10x-x²

Calculando M(x+h)-M(x)

se tiene:

10(x+h)-(x+h)² - (10x-x²)

10x+10h -(x²+2xh+h²) -10x+x²

10x+10h-x²-2xh-h²-10x+x²

10h-2xh-h²

Dividiendo esto entre h:

10-2x-h

verificando la expresión para h=0 se tiene

10-2x

Como ésta es la fórmula de la pendiente de la recta tangente en cualquier valor de x, se verifica cuándo es cero, así:

10-2x=0

cuando

10=2x

o sea

x=10/2

x=5 cm.

Recuerde que la derivada determina la ecuación de la pendiente de la recta tangente a una curva en cuarlquier punto (x, f(x))

Significa que el punto, según el problema, se debe ubicar en el centro del segmento y que su producto máximo ocurre cuando AP=5cm. y PB=5cm., o sea que M=5cm.(5cm.)=25 cm².

Gráficamente se interpreta como el punto máximo de la gráfica de M=10x-x²


Nótese cono en x=5 ocurre el máximo producto M.


Sabemos ya hoy que la derivada de M con respecto a X en la expresión M=10x-x² es:

M'(x)=10-2x

Al tabular M'(x) para x={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} se obtiene:

Se puede notar que la recta tangente toca el punto máximo cuando la pendiente de ésta es cero, esto explica por qué se iguala a cero la derivada para calcular puntos máximos y mínimos, radica en esto la importancia de calcular la ecuación de la recta tangente a la curva.



De acuerdo al mentefacto conceptual se puede deducir que:

2.2 Ejercicio: Escribe las ecuaciones de las rectas que hacen falta en el gráfico.

Veamos ahora un problema de origen no geométrico: las rectas tangentes a la curva de ecuación f(x)=x². Su gráfica es:

Calculemos la ecuación de la recta tangente al punto (3,9).

Una recta que pasa por el punto (a,b) y de pendiente m, tiene ecuación:

y-b=m(x-a)

Se conoce que:

a=3
b=9
y que m=f'(x), es aquí donde debemos calcular la derivada de f(x)=x², que según se muestra arriba es:

f'(x)=2x

Por consiguiente,

m=2(3)

m=6

Sustituyendo en la ecuación inicial:

y-b=m(x-a)

y-9=6(x-3)

y-9=6x-18

y=6x-18+9

y=6x-9

Al representar esta ecuación junto con la de f(x)=x², se tiene:


De igual manera para el punto (2,4):

y-b=m(x-a)

como m=2x y x=2 entonces

m=2(2)

m=4

y-4=4(x-2)

y-4=4(x-2)

y-4=4x-8

y=4x-8+4

y=4x-4

Cuya gráfica es:

2.3 Ejercicio: calcule la ecuación de la recta tangente a y=x² en el punto (1,1) y grafíquela

2.4 Ejercicio: calcule la ecuación de la recta tangente a y=x² en el punto (0,0) y grafíquela

2.5 Ejercicio: calcule la ecuación de la recta tangente a y=x² en el punto (-1,1) y grafíquela

2.6 Ejercicio: calcule la ecuación de la recta tangente a y=x² en el punto (-2,4) y grafíquela

2.7 Ejercicio: calcule la ecuación de la recta tangente a y=x² en el punto (-3,9) y grafíquela


3. Derivada de una función aplicada a problemas de distancia, velocidad y aceleración.

La derivada tuvo vida con la solución de problemes sobre velocidad. Por ejemplo, supóngase que una partícula tiene ecuación de moviemiento x= 6t-4t² con x en metros y t en segundos.

Al comparar esta ecuación con la ecuación general X= Xo + Vo t + 1/2 a t², se puede conluir que:

X= 0 + 6t + (-4) t²

X = Xo + Vo t + 1/2 a t²

Por consiguiente, se identifica que:

Xo= 0 m

Vo=6m/s

1/2a=-4

de donde se deduce que a=-8m/s²

Se concluye entonces que se trata de una parícula que viaja con una velocidad inicial de 6m/s y la desacelera a razón de 4m/s cada segundo, con una distancia de ventaja de 0m (cero metros).

¿Cómo conluir esto con ayuda de la derivada?

Grafiquemos x en función de t:

Se evidencia, por ejemplo, que al cabo de 0,75 segundos la distancia que recorre es de 2,25 metros, la máxima alcanzada. Este es un movimiento que si se tabula para tiempos de 1, 2, 3.. segundos, no se obtiene una gráfica explícita.

¿Cómo saber qué valores darle al tiempo, a partir de la ecuación x=6t-4t² ?

¿Cómo identificad de manera analítica que la velocidad inicial es 6 y que la aceletración es de -8m/s²?

Para esto, recordemos que la velocidad se define como la variación del desplazamiento por unidad de tiempo. Por ejemplo, para tiempos entre t1=0 seg y t2= 0,1 seg, la partícula se desplazo de una posición:

X( t1 ) = 6( t1 )-4( t1 )²

X(0 ) = 6(0 )-4(0 )²

X( 0 ) = 0 -4(0)
x(0) = 0 m.

y para t2

X( t2 ) = 6( t2 )-4( t2 )²

X(0,1 ) = 6(0,1 )-4(0,1 )²

X(0,1 ) = 0,6 -4(0,01 )

X(0,1 ) = 0,6 -0,04

X(0,1 ) = 0,56

Como la velocidad equivale a:

Se tiene que:

Que es un valor cercano a 6m. Para mayor precisiòn, calculemos para t1=0 seg y t2= 0,01 seg, es decir un intervalo de tiempo más pequeño.


Significa que entre más pequeña sea la diferencia entre los tiempos, más pequeña es la diferencia entre los desplazamientos. Al dividir estos dos resultados el límite de esa relación entre las diferencias es de 6m/seg. Nótese que en el elemento x(t+h), la h equivale a 0,01.

Significa que al calcular
Se obtiene la expresión:

X'(t) = 6 - 8t
Que es la ecuación de velocidad de la partícula en un determinado tiempo t, ya que para t=0.01,

x'(t) = 6-8(0.01)

x'(t) = 6-0.08

x'(t) = 5,92m/seg

O para t=0.001, se tiene:

x'(t) = 6-8(0.001)

x'(t) = 6-0.008

x'(t) = 5,992m/seg

Que evidentemente se aproxima a 6 m/seg

Nótese que la aceleración ya se ve en la ecuación X'(t) = 6 - 8t.

Si a esta expresión le llamamos V(t), queda:

v(t)=6-8t

Pues es la velocidad en función del tiempo, también llamada ecuación de la velocidad de la partícula.

Ahora, si derivamos rapidamente esta ecuación, se obtiene v'(t)= -8, que es la aceleración de la que habíamos hablado lineas atrás.

En resumidas cuentas, al derivar la ecuación de x--t (leáse x en función de t), se obtiene la ecuación de v--t y si derivamos la ecuación de v--t, se obtiene la ecuación de la aceleración de la partícula en función del tiempo.

3.1 Ejercicio: La ecuación del movimiento de una partícula está dada por la expresión

x(t)= 50t-200t² (x en metros y t en segundos):

3.1.1 Graficar x --t e indicar valores de t para los cuales x es cero y máximo.

3.1.2 Escribir la ecuación de la velocidad. ¿Qué velocidad experimenta al cabo de 4 segundos?

3.1.3 Escribir la ecuación de la aceleración. ¿Qué aceleración experimentó durante todo el movimiento?


3.2 Ejercicio: La ecuación del movimiento de una partícula está dada por la expresión

x(t)=(t-4) (t-2) (15-t) (x en metros y t en segundos):



3.2.1 Graficar x --t e indicar valores de t para los cuales x es cero y máximo. Nota: tabule de 0 a 15 segundos.

3.2.2 Escribir la ecuación de la velocidad. ¿Qué velocidad experimenta al cabo de 3 segundos? ¿Qué velocidad experimenta al cabo de los 11 segundos?

3.2.3 Escribir la ecuación de la aceleración. ¿Qué aceleración experimenta al cabo de 5 segundos? ¿Es la aceleración constante en todo el movimiento?

3.2.3 ¿Cuál es el valor mínimo de la distancia x entre 2 y 4 segundos, para qué tiempo ocurre? ¿Cuál es la distancia máxima entre 4 segundos y 15 segundos, para qué tiempo ocurre?

3.2.4 Realice un gráfico de velocidad en función del tiempo y construya sus propias conclusiones.

3.2.5 Relice un gráfico de aceleración en función del tiempo y construya sus propias conclusiones.

"Diría todo lo que sé por la mitad de lo que ignoro".

René Descartes.

COMASACA Tarde, grado 7, periodo III Operaciones con números racionales.

Al parecer, las fracciones, que se representan con números racionales, son el producto de la necesidad humana de repartir y medir.

Los egipcios utilizaron fracciones con numerador uno.   Básicamente, la fracción surge en un contexto de medida y en otro de reparto. Supóngase un ejercicio sencillo como dividir dos panes entre ocho personas:

Para hacerlo, basta dividir cada uno en cuatro partes (1/4) :

 

Y asignarle a cada persona un pedazo.

Más sencillo de efectuar en la práctica sería el dividir cada pan en dos partes iguales y cada una de estas partes en otras dos (1/2 de 1/2 es igual a 1/4). La acción de reparto es particularmente sencilla por este procedimiento de divisiones sucesivas por la mitad, lo que es el motivo de que las fracciones de Horus (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64) hayan sido de uso tan frecuente. Nótese que 2, 4, 8, 16, 32 y 64 son potencias del 2.

   La cuestión se complica si el número de personas entre las que hay que repartir los dos panes es distinto de una potencia de dos. Dividir dos panes entre seis personas, por ejemplo, supondría partir cada pan en dos partes:

 

y cada una de ellas en tres partes iguales (1/3 de 1/2 es igual a 1/6). 

 

Pero ¿qué sucede cuando el número de personas es impar?. Por ejemplo, un número sencillo como cinco.

   En este caso, se puede dividir cada pan en tres partes iguales de manera que, en un primer reparto, se de 1/3 de pan a cada persona. Con ello sobraría una de las tres partes correspondiente a un pan que, a su vez, habría que dividir en cinco partes iguales para repartir por igual. Cada uno de los trozos resultante supondría 1/5 de 1/3 de pan, es decir, 1/15 de pan.

   En resumen, cada persona no se llevaría 2/5 de pan sino 1/3 + 1/15 , lo que lleva a establecer para el escriba egipcio la igualdad:                                                                  

2/5  =  1/3 + 1/15