COMASACA 9-1 y 9-2 Taller #2 de Recuperación: matemáticas, geometría y estadística.

La experiencia en cuanto a la entrega de los trabajos escritos del taller de refuerzo #1 sirvió para identificar algunas características de los grados novenos del COMASACA, entre ellas la actitud, en la mayoría, de entregar trabajos estéticamente mal presentados. La hoja inicial en colores, mal distribuida, con casos ortográficos y hasta sin hoja de presentación. Algunos atribuyeron esto al poco tiempo para realizarlo, pero esta hoja no tomaba tanto en construirla. Algunos estudiantes presentaron primero las preguntas y luego las respuestas, otros respondieron sin las justificaciones y procesos pertinentes y otros escribieron la pregunta sin respuesta y sin proceso., ¿qué perseguían con esto? Estas situaciones hay que remediarlas de inmediato mediante la toma de conciencia de la importancia de llevar a cabo este tipo de trabajo. No es un secreto que para aprender matemáticas hay que practicar y repetir procesos mediante la aplicación de condiciones y criterios que la rigen; para esto el estudiante debe habituarse a delegar tiempos frecuentes para afianzar en matemáticas.

Cabe mencionar que enalgunos estudiantes se evidencia el gusto por las matemáticas, en otros no tanto y a la minoría parece no llamarle la atención. Es necesario recordar que el propósito esencial de aprenderla está en desarrollar el pensamiento lógico, necesario en cualquier situación que se presente en el transcurso de la vida. Analizar situaciones, construir opciones, seleccionar alternativas, evaluar un camino a tomar, prevenir eventos, ser consecuentes, entre otra gran cantidad de operaciones mentales que se llevan a cabo en el diario vivir y que se potencian desde las diferentes áreas de conocimiento, entre ellas las matemáticas.

Los talleres aquí registrados estan dosificados y estrucurados de tal manera que el estudiante se sienta como si estuviera con el profesor al lado, es dejar implícito la comunicación dialógica a medida que va solucionándolos, claro está en la medida de lo posible, pues no se pretende obviar el roll del maestro docente en clase. Se espera que el estudiante otorgue tiempo a esta actividad, las dudas me las haga llegar al correo electrónico y termine satisfactoriamente lo propuesto.

Taller de Matemáticas.

Tema: Conceptos básicos de Función y Función lineal.

1. Sea f una correspondencia de A en B definida como F={(x,y), x ϵ A ^ y ϵ B/ y = (3-x)(x-1) }, hallar las parejas que pertenecen a F si A={-1,0,1,2,3} y B={-10, -9,...,0 , 1}, luego indique por qué no es función.

2. Indicar cuáles de las siguientes asignaciones son funciones de A en B con A={1,2,3}, y B={1,2,3} y calsifíquelas. Justificar la respuesta

a. {(1,1), (2,1), (3,1)}
b.{(2,1), (2,2)}
c.{(1,1), (1,2), (2,3), (3,3)}
d.{(1,1), (1,2), (1,3)}
e.{(1,3), (2,3), (3,3)}
f.{(1,1), (2,2), (3,3)}

3. Escribir el dominio y rango de la función g, con

a. G={(2,4),(3,2),(1,0)}
b. G={(5,4),(5,2),(5,0)}
c. G={(1,1),(2,2),(3,2)}
d. G={(0,0),(3,2),(1,0),(2,4),(3,4),(1,6)}}

4. Explique por qué la función f definida de A-->B, con A={-1, 0, 1} y B={156, 100, 44, -12 } tal que f(x)=100-56x, no es sobreyectiva.

5. Verifique sie en la función f de reales en reales (se escribe R->R), con f(x)= (x+1)(x-1) se verifica para cualquier par de números a, b en el dominio, f(a)≠f(b) cuando a=b?.

6. Sea f una función de R->R con f(x)= 5/(x-3), explique por qué no es función. Nota: pregúntese si f(3) existe, es decir si el 3 del dominio tiene imagen en el codominio y guíese por la definición de función, si es necesario grafique.

7. Sea X={1,2,3,4,5}, hallar el rango de la función f(x)=5x-4, de codominio Y={-5,-4,...,12,13,14,15}.

8. Represente gráficamente la función y=10-5x, mediante una tabulación con valores para x entre -5 y 5.

9. Despejar y en las siguientes ecuaciones: Nota: recuerde efectuar correctamente expresiones como (x+c)² que equivalen a x²+2xc+c².

a. 3x+2y=5
b. 5x-12y=5
c. 12x-30y=12
d. 35a+2by=6
e. 3(x-10) + 4(15-y)=0
f. x(x-11)+3y= x(x+12)+5y-100
g. 5/x +y=3-2y
h. 4x=1/(5y-10)
i. (3x-2)²+y = 3x(3x-10)
j. (x-1)²+(y-2)² = (x+3)² + (y+5)²

10. Indique cuáles de las ecuaciones del problema anterior, representan líneas rectas. Aplique el flujograma visto en clase para clasificar funciones lineales.

11. Represente en el plano cartesiano algunas parejas (x,y) tales que la suma de las abscisas con las ordenadas sea 5.

12. Represente en el plano cartesiano algunas parejas (x,y) tales que la diferencia entre las abscisas con las ordenadas sea 2.

13. Represente en el plano las parejas (x,y) tales que x por y sea equivalente a 24. (algebraicamente xy= 24) ¿Qué concluyes del lugar geométrico de puntos obtenidos? ¿Es una línea recta en el plano? Explica. Nota: recuerde también tabular con valores negativos.

14. Una persona recorre 4 km en 12 minutos, es de esperarse que el doble de esta distancia la haga en 24 minutos y que el triple la haga en 36 minutos. Represente esta situación el plano cartesiano donde la distancia esté en función del tiempo.

15. Una persona recorre 4 km en 12 minutos, pero el doble de esta distancia no la hace en 24 sino en 15 minutos. ¿En cuánto tiempo recorrerá 12 km? Graficar, hallar la pendiente de la recta, reemplazar en la ecuación punto pendiente y escribir la ecuación que relaciona la distancia x con el tiempo t que tarda en recorrerla.

16. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

a. (2,3) y (5,-4)

b. (0,1) y (-2,4)

c. (-1,-2) y (-1, -5) tengamucho cuidado con el cálculo de la pendiente.

d. (a,b) y (b,a)

e. (1,d) y (d,1)

f. (h,hj) y (1, j) Recuerde simplificar la pendiente.

17. Por cada 20 cm de altura de una rampa, se avanzan 35 cm. ¿Qué altura h tiene una rampa en la cual se han avanzado 200 metros hasta su final? Plantear ecuación y resolverla para h.

18. Una empresa de celulares calcula que el pago P (en pesos) de un usuario que consume t minutos está dado por a ecuación p=500(120+t):

a. ¿Cuánto le cobran por t=0 minutos? ¿Este valor qué representa en la recta?
b. ¿Calcule la pendiente entre t=20 minutos y t= 30 minutos. ¿Qué representa este valor en la recta y en el contexto del problema?
c. Calcular t para un consumo p=$14.000
d. Represente p en función de t.

19. Dos rectas en el plano son paralelas si tienen pendientes equivalentes. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones de recta, al representarlas en el plano, son paralelas a 3x-4y= 12

a. y=2x-3
b. y=0.75x-4
c. y=6/8 x-1
d. y=3/2 x+4

20. Dos vehículos parten de manera simultánea y en sentidos opuestos, desde dos ciudades distantes 100 km y en línea recta. El primero recorre una distancia x en km en un tiempo t en horas, de acuerdo a la ecuación x=4t+2 y el segundo de acuerdo a la ecuación x=2t+6.

a. ¿Cuánto tiempo tardan los vehículos en llegar a la ciudad opuesta?
b.¿Cuál de los dos llega primero?
c. Cuando llega el primer vehículo a su ciudad opuesta, ¿cuánto le falta al otro para llegar?
d. En el viaje, ¿en que momento (tiempo) se encuentran?
e. Represente los dos movimientos en el plano de tal manera que x esté en función de t, ¿qué concluyes?

Taller de Geometría.

1. En los triángulos ABC y PQR que se muestran en la figura, se puede afirmar que el ángulo A tiene como ángulo correspondiente el ángulo:

a. P porque el ángulo A es de 90º

b. Q porque así lo indica la figura según el símbolo.

c. R porque es el que hace falta.







2. Según la figura 1, el ángulo C es congruente (tiene la misma medida) que el ángulo:

a. R, porque los ángulos A y Q son también congruentes.

b. R, porque los ángulos A y Q son también congruentes lo mismo que B y P que equivalen a 90º.

c. R, porque los triángulos están en distinta posición.


3. Según la figura 1, el lado correspondiente al lado BC es PR porque:

___________________________________________________________

___________________________________________________________


4. Según la figura 1, es correcto afirmar que AB/PQ es equivalente a:

a. AC/PR

b. AB/QR

c. BC/RQ

5. La figura 2 muestra los triángulos ABC y PQR con AB=20, BC=15 y PQ=10. De acuerdo con las indicaciones en los ángulos, se puede establecer que son semejantes por el criterio AAA, en donde AB/PQ=AC/QR=BC/PR = K, donde K es la constante de proporcionalidad. El valor de K es:

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4






6. Según la figura 2, el valor de la longitud del segmento PR es: (Recuerde mostrar el proceso de planteamiento y solución)

a. 7.1

b. 7.3

c. 7.5

d. 7.8


7. Según la figura 2, es correcto afirmar que:

a. Los triángulos son congruentes.
b. Los triángulos son semejantes y de igual tamaño
c. Los triángulos son semejantes ya que el pequeño es la mitad del grande.
d. Los triángulos son semejantes ya que el grande es el doble del pequeño.

8. Como los triángulos de la figura #2 son rectos, se puede llamar catetos a los lados AB y BC del grande y PQ y PR del pequeño. Si se sabe que el área de un triángulo recto es equivalente al semiproducto (producto que se divide en dos partes iguales) de las longitudes de sus catetos, por ejemplo para el triángulo grande su área (área inicial Ai) es:

Ai = 20(10)/2
A=200/2
A=100.
y para el triángulo pqueño su área final Af es:
Af= PQ (PR)/2
Af=10(PR)/2

Al calcular el valor de PR y hallar Af, se puede afirmar que:

a. Af=2Ai
b. Af es mayor que Ai
c. Af es menor que Ai
d. Af=4Ai

9. Del problema anterior se puede generalizar afirmando que si la constante de proporcionalidad de dos triángulos rectos es k, la razón entre sus áreas es:

a. k

b. nk

c. 1/k

d. k²

10. Cuando se nombran los ángulos de un triángulo se acostumbra a mencionar los tres vértices que lo conforman, dejando en el centro el vértice que forma el ángulo. Por ejemplo el ángulo marcado como 1 (en la figura de abajo) tiene como vértice a M, pero se nombra como NMO, dejando a M en el centro. El ángulo O se puede nombrar como MON ó POQ. Cabe resaltar que estos ángulos son opuestos por el vértice O, de donde se deduce que:

a. Los ángulos MON y POQ difieren en medida.


b. Los ángulos MON y POQ son congruentes por se opuestos por el vértice O.


c. Lo ángulos MON y POQ son semejantes.





11. De acuerdo a la figura del problema 10, el ángulo M mide lo mismo que el ángulo:

a. O

b. P

c. Q

12. De acuerdo a la figura del problema 10, al lado OM le corresponde el lado:

a. OP

b. OQ

c. PQ

13. Si denominamos x a cada uno de los ángulos opuestos por el vértice O y z al ángulo marcado como 1 (ver figura del problema 10), se puede afirmar que el ángulo P (que es equivalente en medida al ángulo N) mide: Nota: recuerde que la suma de la medida de los ángulos internos de un triángulo da como resultado 180º.

a. 180-x+z

b. 180(-x+z)

c. x+z-180


14. Si PQ es es triple de MN, ¿qué se puede afirmar de la longitud del segmento OQ?

a. que es el triple de MN

b. que es el triple de ON

c. que es el triple de OM


15. En la figura 4 los dos triángulos comparten el ángulo de arriba, si el ángulo 1 y el ángulo 2 tienen la misma medida, se puede afirmar que:


a. El segmento de 180 metros es paralelo al de 300 metros.



b. El segmento de 180 metros es no es paralelo al de 300 metros.






16. Asumiendo que el ángulo 1 y el ángulo 2 tienen la misma medida (son congruentes), se concluye que los segmentos de 300 y 180 metros son paralelos, esto permitiría establer que:

a. 300 es a 180 como x es a 150, de donde se obtiene que x= 240

b. 300 es a 180 como x es a 150, de donde se obtiene que x=250

c. 300 / 180 = x /150, de donde se obtiene que x= 90

Responda los problemas del 17 al 20 de acuerdo con la siguiente información.

Dos ciudades A y B se encuentran sobre dos vias paralelas, como semumestra en el dibujo. Un cable de alta tensión abastece energía a la ciudad A desde la ciudad B, pasando por el peaje que se encuentra en el puente. El peaje y las dos ciudades son colineales (los tres puntos están sobre una línea recta, en este caso el cable que se ve desde arriba). Las dimensiones se muestran en la imagen.


17. Si la distancia del puente que le corresponde a la ciudad A se denomina con la incógnita X, la distancia del puente que le corresponde a la ciudad B tiene una longitud de:

a. x+500

b. x-500

c. 500+x

d. 500-x

18. Explique la razón por la cual los el ángulo de la ciudad A y el de la ciudad B son congruentes. Plantee la ecuación de suma interna de ángulos. Recuerde que en el peaje se forman ángulos opuestos por el vértice.

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

19. Para calcular la longitud L del cable de alta tensión es necesario resolver la ecuación:

a. 500²+250²=L

b. 500 + 250 = L²

c. 500²+250²= L³

d. 500² + 250² = L²

20. La longitud X que se menciona en el problema #17 se puede calcular resolviendo la ecuación:

a. 200/50 = (500+x)/x

b. 200/50 = (500-x)/x

21. La figura 5 muestra los triángulos RST y UVS, que son semejantes,ya que comparten el ángulo S, los ángulos RTS y UVS son congruentes y...

a. el ángulo R y el ángulo S son congruentes.

b. el ángulo R y el ángulo VUS son congruentes

c. el ángulo R y el ángulo SVU son semejantes.

22. De acuerdo con la figura 5, la longitud del segmento TS marcado con la incógnita es:

a. 22

b. 23

c. 24

d. 25

23. En el triángulo recto ABC, se ha trazado su altura desde el vértice B, que corta a AC en el punto D. Los lados del tríangulo miden 3, 4 y 5 cm. Se puede afirmar que los 5cm se deben a:

a. que si aplicamos el teorema de Pitágoras, se obtiene que AC equivale a la raíz cuadrada de la suma entre 4² y 3²

b. que si aplicamos el teorema de Pitágoras, se obtiene que AC equivale a la raíz cuadrada de la suma entre 5² y 3²

c. que si aplicamos el teorema de Pitágoras, se obtiene que AC equivale a la raíz cuadrada de la suma entre 4 y 3

24. Los triángulos rectos ABC y BDC, en la figura #6, son semejantes porque:

a. Comparten el ángulo B

b. Comparten el ángulo D

c. Comparten el ángulo C.

d. No son semejantes.

25. De acuerdo a la figura #6, la longitud del segmento AD adicionada con la longitud del secgemnto DC da como resultado:

a. 2

b. 3

c. 4

d. 5

26. En la figura #6 se deduce que AD + DC =5 y que si AD equivale a m, se obtiene que m+DC=5, donde DC equivale a:

a. m+5

b. m-5

c. 5-m

d. 5m

27. En la figura #6, los tríangulos BDC y ADC comparten el ángulo C y cómo son rectos, se concluye que:

a. Los triángulos son semejantes

b. Los triángulos son congruentes.

c. No es posible concluir congruencia.

d. Los triángulos son equivalentes.

28. En la figura #6, los tríangulos BDC y ADC son semejantes por compartir el ángulo C y ser rectos. Se puede establecer que la constante de proporcionalidad es:

a. 5

b. 5/3

c. 4/3

3/3

Taller de Estadística.

En construcción.........

COMASACA, Grado 9-1 y 9-2 Taller #1 de Recuperación de Matemáticas, Geometría y Estadística.

¿Por qué reforzar en matemáticas?

Cuando se enseña un saber matemático, es normal que no quede aprendido en su totalidad en el tiempo establecido, por esta razón se hace necesario buscar espacios y estrategias para reconceptualizar y retomar procesos matemáticos débilmente arraigados en nuestras estructuras de pensamiento. El propósito de este taller es el de hacer que tome mayor fuerza el aprendizaje adquirido, he allí la razón del término "reforzar" para este tipo de actividades escolares, que hacen parte de la didáctica de un conocimiento.

Algunos asuntos a manera de preliminares.

• Indicadores de desempeño.

Como es sabido desde el inicio del año escolar, los indicadores de desempeño para matemáticas en el primer periodo están relacionados con el insumo o tema de las funciones y en esencia la función lineal; en geometría lo relacionado a semejanza de triángulos y en estadística lo concerniente a técnicas de conteo y caracterización de variables.

• Presentación del documento final.

Es necesario dejar claro que el siguiente taller de refuerzo debe ser presentado en hojas cuadricula tamaño oficio o carta, con una hoja de presentación en la cual especifique la información necesaria para individualizar el documento. Además debe ir en primer lugar las correcciones de matemáticas, geometría y estadística. Pido que se copie la pregunta e inmediatamente la respuesta, no vaya a copiar todas las preguntas y luego responderlas porque no se revisa. Después de las correcciones de la evaluaciones, viene el desarrollo del taller de cada materia mencionada y finalmente las evaluaciones originales con la firma del acudiente. Recuerde que sin esta firma NO se revisa taller, además puede ser resuelto a lápiz, si desea puede copiar las preguntas a lapicero o recortarlas y pegarlas, a excepción de las gráficas o dibujos de geometría, los cuales deben ser construidos a mano.

Taller de Matemáticas.

Tema: Función y Función lineal.

1. Sea f una correspondencia de A en B definida como F={(x,y), x ϵ A ^ y ϵ B/ y = x(x+1)}, hallar las parejas que pertenecen a F si A={-1,0,1,2,3} y B={0,1,2,3,4,5}, luego indique por qué no es función.

2. Indicar cuales de las siguientes asignaciones son funciones de A en B con A={1,2,3}, y B={1,2,3} justificar la respuesta.

a. {(1,1),(2,1),(3,1)}
b.{(2,1),(3,2)}
c.{(1,1),(1,2),(2,3),(3,3)}

3. Escrbir el dominio y rango de la función g, con G={(2,4),(3,2),(1,0)}

4. Explique con un ejemplo por qué se afirma que una función es sobreyectiva cuando su codominio es equivalente al rango.

5. ¿Qué se puede decir de una función en la que se verifica que f(a)≠f(b) cuando a=b? Dar ejemplos.

6. ¿Qué se puede decir de una función en la que se verifica que f(a)=f(b) cuando a≠b? Dar ejemplos.

7. Sea X={1,2,3,4,5}, hallar el rango de la función f(x)=4x-5 de codominio Y={-5,-4,...,12,13,14,15}.

8. Represente gráficamente la función y=1-2x, mediante una tabulación con valores para x entre -5 y 5.

9. Despejar y en las siguientes ecuaciones:

a. x+y=5
b. x-y=5
c. 2x-3y=12
d. 3a+2b=6
e. 3(x-1) + 4(1-y)=0
f. x(x-1)+3y= x(x+1)+5y-100
g. 1/x +y=3
h. x=1/(y-1)

10. Indique cuáles de las ecuaciones del problema, representan líneas rectas. Aplique el flujograma visto en clase para clasificar funciones lineales.

11. Represente en el plano cartesiano algunas parejas (x,y) tales que la suma de las abscisas con las ordenadas sea cero.

12. Represente en el plano cartesiano algunas parejas (x,y) tales que la diferencia entre las abscisas con las ordenadas sea cero.

13. Represente en el plano lasparejas (x,y) tales que x por y sea equivalente a 12. (algebraicamente xy=12) ¿Qué concluyes del lugar geométrico de puntos obtenidos? ¿Es una línea recta en el plano? Explica.

14. Una persona recorre 4 km en 10 minutos, es de esperarse que el doble de esta distancia la haga en 20 minutos y que el triple la haga en 30 minutos. Represente esta situación el plano cartesiano donde la distancia esté en función del tiempo.

15. Una persona recorre 4 km en 10 minutos, pero el doble de esta distancia no la hace en 20 sino en 15 minutos. ¿En cuánto tiempo recorrerá 12 km? Graficar, hallar la pendiente de la recta, reemplazar en la ecuación punto pendiente y escribir la ecuación que relaciona la distancia x con el tiempo t que tarda en recorrerla.

16. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,3) y (5,-4)

17. Por cada 20 cm de altura de una rampa, se avanzan 30 cm. ¿Qué altura h tiene una rampa en la cual se han avanzado 200 metros al final? Plantear ecuación y resolverla para h.

18. Una empresa de celulares calcula que el pago P (en pesos) de un usuario que consume t minutos está dado por a ecuación p=500(200+t):

a. ¿Cuánto le cobran por t=0 minutos? ¿Este valor qué representa en la recta?
b. ¿Calcule la pendiente entre t=20 minutos y t= 30 minutos. ¿Qué representa este valor en la recta y en el contexto del problema?
c. Calcular t para un consumo p=$14.000
d. Represente p en función de t.

19. Dos rectas en el plano son paralelas si tienen pendientes equivalentes. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones de recta, al representarlas en el plano, son paralelas a 2x-3y= 15

a. y=2x-3
b. y=0.5x-4
c. y=4/6 x-1
d. y=3/2 x+4

20. Dos vehículos parten de manera simultánea y en sentidos opuestos, desde dos ciudades distantes 50 km y en línea recta. El primero rcorre una distancia x en km en un tiempo t en horas, de acuerdo a la ecuación x=4t+2 y el segundo de acuerdo a la ecuación x=2t+6.
a. ¿Cuánto tiempo tardan los vehículos en llegar a la ciudad opuesta?
b.¿Cuál de los dos llega primero?
c. Cuando llega el primer vehículo a su ciudad opuesta, ¿cuánto le falta al otro para llegar?
d. En el viaje, ¿en que momento (timpo) se encuentran?
e. Represente los dos movimientos en el plano de tal manera que x esté en función de t, ¿qué concluyes?


Taller de Geometría.


Taller de Estadística.

En construcción.........

COMASACA, Grado 9°, Periodo I, Geometría, Semejanza de triángulos.

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Taller de Ejercitación
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El pantógrafo(1)

Este instrumento fue inventado por Christopher Scheiner, a principios del siglo XVII. Se utiliza para reproducir dibujos de forma que el dibujo reproducido es semejante al original.

Su funcionamiento es muy sencillo: se recorren las líneas de la figura con un lápiz que va unido a una barra. A la vez, el lápiz colocado en el otro lugar reproduce el recorrido, trazando una figura semejante sobre el papel.

El pantógrafo consta de cuatro barras paralelas, dos a dos, articuladas en los puntos A, B, D y F. Hay un pivote fijo en el punto O y los lápices están en F y C. Cuando se recorre una línea con el lápiz F, el otro lápiz puesto en C describe una línea semejante. Si, en lugar de mover el lápiz F, moviésemos el lápiz C, el lápiz F trazaría una figura menor y también semejante. Los triángulos O A C △ y O D F △ son semejantes.

(1) Ver en línea

http://www.kalipedia.com/matematicas-geometria/tema/pantografo.html?x1=20070926klpmatgeo_237.Kes&x=20070926klpmatgeo_239.Kes

COMASACA 9-1 Y 9-2 Tabla de frecuencias para datos agrupados

Página recomendada:

http://www.expertoenexcel.com/estadistica/como-trabajar-con-tablas-de-datos-agrupados-en-estadistica

COMASACA Grado 5° Diapositivas Ser humano Antiguo

PowerPoint, una aplicación informática para organizar la información a proyectar.

Cuando queremos dar a conocer una información con el propósto de hacerlo con organización, claridad y creatividad, usamos una aplicación como Power Point. Es el caso de lo visto con el Ser Humano Antiguo, importante tema que tratamos al inicio del año lectivo, pues la clase que vemos es llamada Tecnología e Informática. Es por esto que ver el avance tecnológico del ser humano al pasar el tiempo, se hace necesario, ya que de ésta manera nos ubicamos en el tiempo, reconocemos cómo hemos avanzado y transformado nuestras vidas.

A manera de ejemplo vimos como, con ayuda de cuatro diapositivas, organizar la información acerca de los avances que el ser humano antiguo hizo, como el descubrimiento del fuego y la manera como logra encender hogueras, la antorcha para iluminar los lugares que habita en la noche y la lanza como herramienta para la caza de animales necesarios para su alimentación.

Desde esta claridad, la tarea consiste en realizar en sus casas las cuatro diapositivas que hemos construido en clase. La primera que llamaremos principal o de presentación, en la que aparece el título grande, centrado en la parte superior en el cual se lee "El Ser Humano Antiguo"; en la parte de la izquierda, uno abajo del otros, los subtítulos Fuego, Antorcha y Lanza. Ellos deben ser insertados como un cuadro de texto y luego programarles una acción que los lleve a cada una de sus diapositivas correspondientes.

Las diapositivas de estos tres subtitulos deben tener el título centrado en la parte superior, un cuadro de texto donde se explique de manera resumida cómo descubrió el Ser Humano Antiguo el fuego y cómo se piensa que inicio a encenderlos para su uso. Debe aparecer una imagen relativa al fuego y un objeto, en forma de flecha, que tenga la palabra Principal, en el cual al dar clic encima de él, se regrese a la primera diapositiva.

COMASACA Grado 9° Funcion Lineal

c

COMASACA Grado 9° taller Función Lineal.

Realizar los ejercicios de la página 63 del libro digitalizado, numerales 10 al 28. La dirección es:
http://www.scribd.com/doc/9113818/Funcion-Lineal

COMASACA Grado 9º Función Lineal: ecuación explícita de la recta.

La intención inicial era la de adquirir la habilidad cognitiva de despejar incógnitas en ecuaciones de variable lineal.

Para empezar recordamos las situaciones significativas de aprendizaje acerca del cobro del consumo de llamadas de un celular con dos planes que ofrecían las empresas A y B:

La empresa A ofrecía a $300 el minuto con un cargo básico de $10.000 y
la empresa B ofrecía a $250 el minuto con un cargo básico de $12.000. Construimos los modelos relaciones de función lineal que fueron:

A: C=300t + 10000
B: C=250t + 12000

Siendo C el costo en pesos y t el tiempo de la llamada en minutos.

De estas revisamos sus gráficas hechas a mano en clase y construidas con ayuda de Excel.

Luego nos remitimos a la situación que mencionaba una fotocopiadora donde por 500 copias cobrarban $25.000 y por 1000 sólo $40.000. El interrogante fue el de hallar el costo de sacar 2000 copias en esas condiciones.

Resaltamos la situación especial en la que se esperaba que por el doble de cantidad de copias cobraran también el doble, pero no fue así. Para esto, ustedes construyeron una tabla de valores, identificaron un patron de repetición y llegaron, la minoria, a la conclusión de ser $70.000 el valor buscado.

Algunos argumentaron que de 500 en 500 para el número de copias, aumentaba $15.000 para el valor, motivo por el cual para 1500 copias era de $55.000, para 2000 era $40.000, para 2500 era de $ 55.000 y para 2000, que es valor pedido, era de $70.000. Bien interesante la observación a partir del cálculo aritmético.

Buscamos entonces el modelo matemático (regla de asignación) o fórmula que relaciona a V con C. Como se había detallado que de 500 en 500 (Incremento del número de copias que llamaremos delta c) aumenta 15.000 (que es el delta V), la pregunta es para el aumento de 1 en 1. Se divide entonces 15.000 en 500 y se obtiene 30. Ahora, si multiplicamos 30 por 500 sólo nos dá 15.000, al cual le falta 10.000 para llegar al 25.000 que es el costo que propone el problema. Vemos entonces que la c se multiplica por 30 y se adiciona o suma 10.000, de aquí se obtiene la formula

V = 30c + 10.000.

Después de toda esta explicación, s epiensa que comprenden de lo que se habla y tienen ya la habilidad para aplicarlo, pero nos dimos cuenta que al preguntar: según este modelo matemático, ¿cuánto cobran por sacar una sola copia? Tardaron mucho en responder, algunos de ustedes decía que 30, otros que 10.000 y otros adivinaban sin acertar. Al cabo de un rato, sólo un estudiante responde que 10.030, valor numérico absurdo para la realidad, pero posible en lo matemático y que se explica como el uso de ese modelo solo para cantidades de copias mayores de 500.

Luego vimos como se calculaba para responde a la pregunta: para una copia se reemplaza c por 1 y se obtiene:

Si c=1 entonces V=30(1) + 10.000
............................ V= 30 + 10.000
............................ V= 10.030

La respuesta para 2000 copias se calcula mediante la expresión:

Si c= 2000 entonces V=30(2000) + 10.000
..................................... V= 60.000 + 10.000
..................................... V= 70.000

Luego surge el interrogante de averiguar el número de copias que se sacaron si se pagaron $28.000, situación en la que sólo un estudiante respondió de manera argumentada (plantenado ecuación:

Si V=28000 entonces la ecuación de dos incógnitas V=30c+10000 queda de una sola, así:

...........................V=30c+10000
...............28.000 = 30c+10.000
28.000-10.000 = 30c
...............18.000 = 30c
............18.000/3 = c
.....................600 = c

Entonces, el número de copias cuyo valor de 28.000 en esas condiciones es de 600 copias.

Ejercitación.

I. Hallar el valor de la incógnita dada, a partir del otro valor dado:

1) x+y=5 si x=3
2) x-2y = 6 si y=-2
3) v=300c-500 si c=300
4) 2(x-1) + 3(3-y) = 100 si x=-5

II. Una empresa de confites ofrece 5 bolsas de bombones por un valor total de $15.000 y 10 bolsas por $25.000. En esas mismas condiciones, ¿cuánto se debe pagar por 15 bolsas?

En el problema de las copias, la variación de c era de 500 ya que de 500 en 500 varia 15.000 para el precio. La variación de c se escribe ⌂c y en este caso ⌂c=500 y ⌂V=15.000

III. Indique el valor de ⌂b y ⌂P para el problema II, calcule luego ⌂P/⌂b, ¿qué concluyes?

IV. Un vehículo recorre 40 metros en 5 segundos y 80 metros en sólo 8 segundos, ¿en estas misma condiciones cuantó tiempo tarda en recorrer 120 metros? Realice la tabla de valores, grafique, halle ⌂distancia/⌂tiempo y relaciones este valor con la respuesta obtenida.

La solución de los problemas anteriores hacen ver la necesidad de la habilidad cognitiva en los procesos algebraicos y despeje en ecuaciones. Para esto, reforcemos en lo último:

V. Despeje la incógnita indicada en cada ecuación:

1) x en x+3=10
2) y en x+y=100
3) m en 3m-2n =m+5
4) a en ab+c=d
5) x en 1/x + 1/y = 10
6) x en ax+bx= c
7) y en y(y-1) +x = 4- x
8) h en (h+1)² = h²
9) p en p(p-1)= p(p+1) -5q
10) f en f/(f+1) = 3


En las SSIGAs anteriores vimos como se repetían algunas estructuras, por ejemplo:

• V=300c+10000 celulares, minuto a 300 y cargo básico de 10000

• V=250c+12000 celulares, minuto a 250 y cargo básico de 12000

• C=30c+15000 Copias, valor de cada una 30 y cobro constante de 15000

y algunas con las cuales nos encontraremos como:

• X=80t+300 Distancia X, velocidad 80 de un vehiculo que sale de un punto ubicado a 300 metros del punto de salida.
• Q= mC⌂T Calor Q final de una sustancia, concida su variación de temperatura y el coeficiente de dilatación C.F= m.a Fuerza necesaria para mover un cuerpo de masa m, de tal manera que experimente una aceleración a.

Notemos que las variables que se relacionan no tienen exponente mayor a 2, todas tienen exponente de uno, aunque no se les escribe, pues recuerde que por conveniencia de escritura:

x¹ = x

Estas reglas de asignación son lineales, una magnitud o variable está en función de la otra o se puede escribir en función de la otra. Esta habilidad de despejar una incógnita en una ecuación ya debe estar aprehendida. Ahora veremos la manera de escribior una expresión en su forma explícita, identificar algunas de sus caractéristicas gráficas y relacionarlas con otras funciones.

Las ecuaciones anteriormente mencionadas tienen una variable despejada que depende de otra. A la que está despejada le llamaremos variable dependiente y la que no, llamaremos independiente. Por ejemplo para el caso de C=300t+10000, la variable dependiente es C y la independiente es t. Nótese que hay valores constantes como 300 y 10000, el 300 es el coeficente del término lineal (t está elevado a la 1) y 10000 es el termino constante o independiente del término lineal, pues no tiene t.

Un problema interesante entre exponencial y lineal.

Resulta interesante buscar la solución a la ecuación:

Es evidente que tiene dos soluciones, pues la recta de ecuación y=x+5 interseca a la curva de

ecuación . La inmediata es x=3, pero la otra solución se encuentra entre -5 y -4, visualmente más cercana a -5. ¿Cuál es ese valor?

COMASACA Grado 9º Semejanza de Triángulos.

De lo fáctico a la abstracción
(Del hecho a la imaginación).

La actividad de recortar un triángulo y medir la longitud de cada uno de sus lados, para luego ampliarlo o reducirlo mediante una paralela, es significativa en la medida que usted como estudiante reconozca que luego deberá hacer eso haciendo uso de su imaginación, corresponde entonces a un proceso de abstracción.

Acordemos ahora que si a un triángulo le trazamos una paralela a uno de sus lados, puede resultar que:

- La paralela corte a los otros dos lados, que llamaremos paralela interna o

- que no corte los lados, que llamaremos paralela externa.Para la parela interna, el triángulo nuevo que se forma en esta parte, tiene ángulos cuya medida es la misma que los ángulos correspondientes al triángulo de mayor tamaño.

En la figura los ángulos marcados con igual color son correspondientes y, en este caso, tienen la misma medida, decimos que son congruentes.

El triángulo original ABC, se reduce en tamaño pero no cambia de forma para convertirse en el triángulo AB'C'.

Nota: Los triángulos se nombran de acuerdo a la letra mayúscula asignada a sus vértices, si la letra tiene una comilla, se lee prima, por ejemplo B' se lee "B prima".

Al separar estos triángulos, se puede ver que conservan la misma forma pero diferente tamaño, el triángulo AB'C' es la reducción del triángulo ABC.

¿Cómo establecer cuánto se redujo?

Esto depende de la distancia a la cual se haya trazado la recta paralela. La mejor forma de calcularlo es midiendo la longitud de los lados correspondientes. En el triángulo ABC, la medida de longitud del lado B'C' se divide en la del lado BC (a esta división se le llama relación entre los lados), a esto se le conoce como constante de proporcionalidad, pues al realizar las otras divisiones, esta cantidad no varía.

La razón entre lados correspondientes de triángulos semejantes, es constante.

Ejercictación:

1. Corte un triángulo cuyos lados midan 3, 4 y 6cm. Dibuje su contorno en el cuaderno. Luego trace una paralela interna al lado de 6cm., sin importar que tan distante esté del lado escogido. Recorte la parte sobrante (el trapecio) y mida ahora las nuevas longitudes que tiene el triángulo pequeño. Establezca la relación (división) entre los lados correspondientes. Verifique que el valor del resultado de esta división es el mismo para el resto de lados.

2. Dos triángulos tienen lados de longitudes 3, 4 y 5cm y 6, 8 y 10cm. ¿Són semejantes? Justificar la respuesta.

3. Consulte acerca del pantógrafo, explique cómo funciona y para qué sirve. En la medida de lo posible construya uno con palos de balso y haga una demostración en el salon de clase.

4. Indique si las siguientes figuras son o no semejantes. Justifique su respuesta mediante el establecimiento de la constante de proporcionalidad.

a)

b) c)


Sugerencia: para los ejercicios b y c, mida la longitud de cada lado de cada par de triángulos, establezca los lados correspondientes y halle la razón entre ellos.

5. De acuerdo a la información suministrada en la gráfica, halle la medida del perímetro de cada triángulo.



Espero disfruten de este proceso de aprehensión de conocimiento.

6. Hallar el valor de la longitud X de la figura.

Sugerencia: establezca la proporción entre los lados del triángulo azul y el triángulo grande.

7.