COMASACA Grado 9º Semejanza de Triángulos.

De lo fáctico a la abstracción
(Del hecho a la imaginación).

La actividad de recortar un triángulo y medir la longitud de cada uno de sus lados, para luego ampliarlo o reducirlo mediante una paralela, es significativa en la medida que usted como estudiante reconozca que luego deberá hacer eso haciendo uso de su imaginación, corresponde entonces a un proceso de abstracción.

Acordemos ahora que si a un triángulo le trazamos una paralela a uno de sus lados, puede resultar que:

- La paralela corte a los otros dos lados, que llamaremos paralela interna o

- que no corte los lados, que llamaremos paralela externa.Para la parela interna, el triángulo nuevo que se forma en esta parte, tiene ángulos cuya medida es la misma que los ángulos correspondientes al triángulo de mayor tamaño.

En la figura los ángulos marcados con igual color son correspondientes y, en este caso, tienen la misma medida, decimos que son congruentes.

El triángulo original ABC, se reduce en tamaño pero no cambia de forma para convertirse en el triángulo AB'C'.

Nota: Los triángulos se nombran de acuerdo a la letra mayúscula asignada a sus vértices, si la letra tiene una comilla, se lee prima, por ejemplo B' se lee "B prima".

Al separar estos triángulos, se puede ver que conservan la misma forma pero diferente tamaño, el triángulo AB'C' es la reducción del triángulo ABC.

¿Cómo establecer cuánto se redujo?

Esto depende de la distancia a la cual se haya trazado la recta paralela. La mejor forma de calcularlo es midiendo la longitud de los lados correspondientes. En el triángulo ABC, la medida de longitud del lado B'C' se divide en la del lado BC (a esta división se le llama relación entre los lados), a esto se le conoce como constante de proporcionalidad, pues al realizar las otras divisiones, esta cantidad no varía.

La razón entre lados correspondientes de triángulos semejantes, es constante.

Ejercictación:

1. Corte un triángulo cuyos lados midan 3, 4 y 6cm. Dibuje su contorno en el cuaderno. Luego trace una paralela interna al lado de 6cm., sin importar que tan distante esté del lado escogido. Recorte la parte sobrante (el trapecio) y mida ahora las nuevas longitudes que tiene el triángulo pequeño. Establezca la relación (división) entre los lados correspondientes. Verifique que el valor del resultado de esta división es el mismo para el resto de lados.

2. Dos triángulos tienen lados de longitudes 3, 4 y 5cm y 6, 8 y 10cm. ¿Són semejantes? Justificar la respuesta.

3. Consulte acerca del pantógrafo, explique cómo funciona y para qué sirve. En la medida de lo posible construya uno con palos de balso y haga una demostración en el salon de clase.

4. Indique si las siguientes figuras son o no semejantes. Justifique su respuesta mediante el establecimiento de la constante de proporcionalidad.

a)

b) c)


Sugerencia: para los ejercicios b y c, mida la longitud de cada lado de cada par de triángulos, establezca los lados correspondientes y halle la razón entre ellos.

5. De acuerdo a la información suministrada en la gráfica, halle la medida del perímetro de cada triángulo.



Espero disfruten de este proceso de aprehensión de conocimiento.

6. Hallar el valor de la longitud X de la figura.

Sugerencia: establezca la proporción entre los lados del triángulo azul y el triángulo grande.

7.