Una mediacion pedagógica en matemáticas

Tendría que estar ciego para no darme cuenta que el “que tanto han aprendido” mis estudiantes de noveno grado no es el que espero, o que por lo menos todo lo que he hecho y estoy haciendo (diría hemos y estamos) no está dando los resultados disciplinares esperados. ¿Cuál nivel? El necesario para que grafiquen una función cuadrática, que la usen para interpretar su comportamiento e identifiquen en ellas sus partes. Que reconozcan sus cortes con x como las soluciones de la ecuación cuando y es cero y que esas ecuaciones la usen para resolver problemas de aplicación. Además es claro que todo el proceso mental y cognitivo de pensar, comparar, obtener conclusiones, razonar entre otros es de suma importancia.

Llegar en primera instancia con el impulso del gusto que siento por las matemáticas y luego saber que eso no era suficiente, me hace observar y concluir que algo está pasando. Debo entrarlas al salón, pues están todas afuera el 90% de las veces. Fueron separadas al ingresar a noveno grado, ya que en octavo grado estaban juntas. Ya han pasado siete meses y aún siguen en plena comunicación, es claro y de esperarse, pues aún comparten el mismo espacio aunque en diferente salón. Amenazo con cerrar la puerta y dejarlas afuera de tal manera que la valoración del día sea negativa: una I o una D, esta última en raros casos. Todas corren, unas dicen “allí viene Oscar rápido entren niñas” y se desata toda una carrera por ubicarse en los puestos que a cada una les corresponden. Mesas individuales que suelen ser puesta en dos filas paralelas al tablero.

Es difícil ubicarlas de manera individual, pero así esos seres humanos se sienten en agrado. La única forma de lograr lo contrario, es hacer una evaluación (valoración escrita) y cada una se separa dejando casi un metro de distancia entre ellas (el salón soñado por muchos).

Bueno, realmente cuando propuse un abordaje práctico en una clase de estadística con ellas, se ubicaron rápidamente en un grupo de manera circular y sentadas en el piso. Eso me hizo sentir, que el objetivo disciplinar se cumplía y de una manera agradable para ellas, pues fue sorprendente como se fueron ubicando sin que yo tuviese que guiarlas.

Que no coma chicle, que se siente bien, que guarde el celular, que se levante del puesto, que guarde esos colores y esa carta que pinta, que preste atención y no converse en la clase, que no ponga un tema ajeno al tema de la clase, entre otros, son los llamados de atención frecuentes en clase. Ellas te observan, miran si tienes los mismos zapatos del día, si repetiste camisa o pantalón o si peleaste con la plancha. “Hoy está de mal genio” algunas lo y dicen otras lo piensan. Hay que darles explicaciones de que no es así. Es claro que quien señala el camino y acompaña el abordaje en clase es también ser humano.

En mi mano, llevo mi cuaderno del año, en el guardo todo lo que me dan. Acostumbro a pegar las hojas de circulares, las evaluaciones escritas que programo, las planillas de calificaciones (ahora llamadas actas de valoración según el Sistema de Gestión de Calidad S. G. C.), todo lo escrito cuanto a lo que utilizo en el periodo escolar. Además uso algunas hojitas de el para hacer mis cálculos y resolver algunos problemitas. Es curioso que en la parte trasera de mi cuaderno, aparezcan algunos apuntes y de las niñas, pues en algunas ocasiones se arriman a mi escritorio en el salón y hacen su dibujitos de muñecos y garabatos que acostumbran. Llevo ya varios cuadernos, la mayoría los guardo cuando no me los piden en el colegio que he trabajado. Es de gran utilidad pues los anteriores cuadernos sirven para retomar algunas cosas para el presente año lectivo (un registro valioso). Hace varios días mis actas de valoración salieron del cuaderno, tuve que arrancar de los anillos cada hoja donde las había pegado y ponerlas en una carpeta traslucida blanca hecha de material reciclado, pues todos debíamos tenerlas allí. No me gusto la idea pero así lo exigía el gigante SGC. Bueno, en últimas le vi muchas cosas buenas: si se me pierde el cuaderno, se me pierde todo. Hablando de actas de valoración, es cuestionante la exigencia de que no deben tener un tachón, según SGC, pero la dinámica escolar te lleva a eso: la estandarización del proceso educativo desde una mirada empresarial. Cuando la educación debe ser tal que privilegie a cada ser humano acorde a sus capacidades e individualidades y no deben haber modelos rígidos, es contradictorio que estemos estandarizados en cuanto nuestra intimidad del registro… bueno, eso es calidad.
Después de pedir un agradable saludo y que se oiga, algunas estudiantes lo dan gritando y otras en un tono suave. Empiezan a ubicarse en sus mesas, a recoger papeles que estén al lado de su puesto y a discutir por la propiedad de ellos. ¡Humm!, esa palabrita “propiedad” que usamos en las matemáticas, la propiedad modulativa, la clausurativa, la asociativa, ahora era usada para hablarnos de la propiedad del cliente en el SGC. Bueno me referiré a ella más adelante. Abro mi cuaderno, ubico la planilla de valoraciones y observo los logros que estoy trabajando. “¿Qué tenemos para hoy?” Pregunto. Todas ignoran la pregunta, pues saben que hay tarea. Es de costumbre dejar tarea para la casa, pero es mentira.


La mayoría de veces las hacen en la llegada y otras las copian. Es difícil lograr que trabajen en casa. Son varios los aspectos que las lleva a eso. Las tareas para la casa no están dando resultado. Ellas asumen que así como para el trabajador es política de no llevar trabajo par la casa, ellas se las llevan a casa pero no las hacen. Un obstáculo para la clase, pero hay que darle solución rápida. “Bueno, voy a pasar revisando los cuadernos para socializar la tarea luego”, sus miradas cambian, dos o tres de las “buenas” (niñas hábiles en matemáticas) sacan rápidamente sus cuadernos, las otras siguen allí con sus puesto vacíos y otras los sacan de tal manera en sus rostros se ve que no la hicieron.Sigue entonces corregirla en el tablero. “¿Qué ejercicio les dio dificultad?” Las niñas proponen varios y escogemos algunos que son resueltos con mi ayuda y en otros casos por ellas mismas. Hay momentos donde alguna de ellas no entiende y sale otra estudiante y se lo explica. Mientras tanto yo me siento en uno de sus puestos y las observo, detallo su método, su forma de hablar, de moverse y de explicar. Me comparo y pregunto qué me falto o qué falto para que hubiese una mejor comprensión de mi intervención en la corrección del ejercicio.

Varias veces evidencio como la niña explica de tal manera que llego a suponer que no explicó tan bien como yo; pero luego la niña que no había entendido dice “humm, ya entendí”. Digo entonces que se logró el objetivo. “¿Alguna duda?” -Pregunto.- Y nada dicen, pero cuando anuncio la fecha de valoración escrita del tema, la mayoría dicen al unísono que aún no entienden. Bueno, es hora de practicar más. Busco en el libro la página correspondiente a los talleres o la de solución de problemas. Propongo los ejercicios impares y de inmediato se ubican a trabajar en grupos definidos por ellas mismas. Doy miradas al trabajo que van realizando, les hago correcciones, les aclaro dudas y hago sugerencias. Unas preguntan más que otras, otras ni siquiera preguntan y otras se la pasan charlando haciéndome creer que discuten del tema, pero es evidente que no es así. De todas maneras ya las va uno conociendo y analizando de tal manera que poco a poco les hace una propuesta que les permita cambiar ese comportamiento.

Es difícil lograr la atención de ellas en una clase magistral, pues la metodología de trabajo en clase es la de primero un acercamiento al tema a manera de introducción haciendo uso de un tema en contexto real, luego una indagación sobre saberes e ideas que poseen sobre el tema, después el dar solución a un problema con los conocimientos que tienen y luego se aborda el tema haciendo énfasis en la necesidad de conocer y saber más para poder comprender y resolver la situación con mayor propiedad y por último se propone la construcción de problemas afines y el seguimiento de saberes aprendidos mediante la valoración permanente de avances y logros y la autoevaluación.

La mayoría de textos guía par la clase proponen el abordaje teórico desde un aspecto procedimental: aprender a manejar la ecuación, a despejar, a comprobarla, a aplicar la fórmula para después pasar a resolver los problemas en contexto. A mi parecer, grave error, pues para las estudiantes se está aprendiendo algo más por requerimiento de un plan de trabajo que por una necesidad. Los libros proponen un abordaje desde los formal, luego los abstracto y finalmente la aplicación. En la medida que nuestros estudiantes vean la necesidad de aprender la ciencia o área de conocimiento que orientamos, en esa misma medida la estudiante le dará aceptación. No puedo enseñar algo a alguien que está convencido o convencida de que no lo necesita. Puede que se llegue a no convencer a esa persona, pero por lo menos los medios y forma como se hizo le resulten agradable en todo su proceso de convivencia. La escuela es, en primera instancia, un lugar social de alto potencial para la convivencia”.
“Cada vez tengo más presente en mi mente la imagen de una escuela; una escuela cuyo centro y origen sea algún tipo de actividad verdaderamente constructiva, en la que la labor se desarrolle siempre en dos direcciones: por una parte, la dimensión social de esta actividad constructiva, y por otra, el contacto con la naturaleza que le proporciona su materia prima”. [1]

“Profe, y esto ¿para qué me sirve? ¡Si yo creo que después del colegio ni por las curvas lo volveré a ver!” –Dicen ellas- Y es en ese momento donde encuentro un gran desafío, el de responder a las razón de ser de mi labor como educador-maestro-profesor el de justificar mi elección de vida y el conocimiento que acompaño y oriento. “Aprender a pensar, a razonar a realizar procesos de pensamiento y es esta materia un pretexto para eso”, -Les respondo- Claro está que hay que develar mucho esa explicación. Este espacio privilegia otros procesos, en esencia el de socialización. ¿Será que la escuela les hace daño a las personas? Estoy convencido de lo contrario. La labor educativa está tan desprestigiada que es tarea de las generaciones de relevo reivindicarla con la sociedad.

El convencimiento de eso me lleva a proponer un trabajo que les permita pensar, formular interrogantes, construir supuestos y formular hipótesis o posibles soluciones a un problema o fenómeno del mundo de la vida. Tamayo (1989), señala que éstas se constituyen en un eslabón imprescindible entre la teoría y la investigación que llevan al descubrimiento de un hecho[2].


Una mediación para explorar la función cuadrática.

De esta manera y como ejemplo, para abordar el tema de la función cuadrática, iniciamos el proceso observando eventos físicos relacionados con el tema:
[1] “Pedagogía y Filosofía” John Dewey (1930).
[2] http://www.monografias.com/trabajos15/hipotesis/hipotesis.shtml


-El lanzamiento de un objeto:
Simplemente le lance el borrador a la niña del frente y ella lo tomo con sus manos. Invite a las estudiantes a analizar la curva que describe y a preguntarse por los dos movimientos. Las ubiqué históricamente en Galileo Galilei quien estudió la independencia de movimientos mediante sus comprobaciones. Nos correspondía analizar desde la función cuadrática ese fenómeno.

-Un chorro de agua:
Fue placentero oír como todas reían al ver el momento que retiraba el dedo de la abertura superior de la lata de Pony Malta para así dejar que el líquido saliera por el orificio de la parte inferior, de tal manera que ellas vieran como este sigue una trayectoria semiparabólica. Les presenté la fórmula y=1/2 g t² , dejándola pendiente para aplicaciones posteriores. No era de nuestro interés demostrar de donde salía.

-Una torre de monedas que caen:
Consistió en ubicar diez monedas en el piso, empujarlas con cierto impulso y observar cómo quedaban distribuidas a lo largo de la trayectoria que definían. Les indague sobre lo particular de las distancias entre moneda y moneda. Se hicieron tres eventos idénticos de tal manera que ellas empezaron a tomar apuntes de las distancia entre moneda y moneda para luego graficar en el tablero. Lo particular del experimento fue que me ubique en el piso, una posición diferente, e iniciamos la medición. Normalmente se nos ve al frente del tablero, “dictando” clases e imponiendo conocimiento. El trabajo en casa consistió en realizar de nuevo los tres eventos, graficarlos y traer los dibujos obtenidos para compararlos y verificar si la posición de la moneda en función de la distancia correspondía a la grafica de una semiparábola. Al día siguiente, el resultado fue satisfactorio, todas lo hicieron y pasamos un buen rato contando la experiencia de los padres con ellas haciendo experimentos en casa.

Todo esto como presentación e interacción con el mundo que nos rodea. ¡Qué más laboratorio que ese!
Seleccioné para profundizar un poco el experimento del chorro de agua.
En una nueva clase formulamos interrogantes acerca de la caída de los objetos y las explicaciones del por qué entre más arriba, esté un objeto que cae, más difícil es detenerlo con las manos. La discusión se fue enriqueciendo. Se propusieron preguntas como ¿Cuánto tiempo tarda en caer un objeto desde una altura de cinco metros? ¿Qué altura debe haber para que un cuerpo tarde cayendo 1 segundo? Entre otras.

Ahora venia un problema de Iluminación.

En el desarrollo del tema, que estaba planeado para 10 semanas de 4 horas cada una, siempre me preguntaba que tan preparadas estaban para resolver un problema solas en contexto. Había llegado el momento de hacerlo. Ya habían observado, experimentado, formulado hipótesis y realizado el abordaje teórico: habían tabulado una función cuadrática, hallado cortes con los ejes y vértice y le habían dado su uso en problemas y ejercicios en clase. Propuse un problema de iluminación[1]:
[1] Matemáticas 9. Ed. Santillana. Página 131. 2006




Problema: Dos bombillos de 100 y 60 vatios están distanciados 1m. ¿A que distancia se debe ubicar un punto del segundo bombillo para que su iluminación sea la misma?

Propuse primero la lectura del texto, luego la interpretación de tal manera que se obtuvieran los datos y finalmente el proceso matemático o de argumentación. Pasados 10 minutos tuve que intervenir. Di la explicación de lo que significaba la fórmula:
I
E = ------
d²

Analizamos el fenómeno de que a mayor distancia del foco de luz menor iluminación y viceversa. Algunas argumentaron que eso era lógico. Entre a explicar que esa comparación era de tipo cuadrática. Que si te separas el doble, la iluminación se reduce a la cuarta parte y así sucesivamente. Ellas afirmaban solamente que disminuía, pero no dimensionaban, de acuerdo a la fórmula, en que proporción. Eso era un trabajo para abordar, todo un desafío. Note que era necesario un conocimiento científico para la comprensión de este tema

Iniciamos entonces el proceso de tabulación para cada bombillo por separado. Tabulamos en función de las distancias:





















Les pregunté ¿Qué valor de E es casi igual para ambos? Fue notable que para d=0,6m para el bombillo de 100vattios y d=0,4m para el de 60vatios. Pero la diferencia era considerable. Esto daba origen a la necesidad de buscar un método más eficaz. Pensé en graficar ambas curvas, pero lo omití, puesto que lo necesario era que plantearan una ecuación cuadrática.

Inicio la explicación de... ¡como había un dato desconocido!, esto implicaba el planteamiento de una ecuación.

Como los dos bombillos estaban separados 1m. entonces pregunté que si podía estar el punto buscado en la mitad y respondieron que no, puesto que eso era posible si ambos bombillos tuvieran los mismo vatios. No entre a demostrar esa hipótesis pues era necesario concentrarnos en la formulación de la ecuación. Llegamos a la ecuación y la escribimos en el tablero:

Ea = Eb

100 ......... 60
------- = -----
(1-x)² ...... x²

En el desarrollo del ejercicio se notaron varios errores como:

100 ......... 60
------- = ----- donde el cuadrado debía estar adentro del paréntesis.
(1-x²) . .....x²

O en pleno proceso de solución como

100 x² = 60 (1-x)²
100 x² = 60 (1-x²) <-----Error, debe ser (1 - 2x + x²)
100x² = 60 -60x² donde olvidó elevar al cuadrado un binomio.

Al solucionar la ecuación se notaron otros errores que poco a poco se fueron corrigiendo en el tablero. Al final una niña resolvió el problema aplicando la fórmula cuadrática:
100 x² = 60 (1-x)²

100x²=60(1-2x+x²)

100x²=60-120x+60x²

0= -100x²+60-120x+60x²

0=-40x²-120x+60

0=4x²+12x-6
...............................__________
...................-12+ √ 12²-4(4)(-6)
donde x = -------------------------- donde x = 0,436491673
................................2(4)

que ratificaba la tabulación y el posible valor.

Al finalizar la clase evalué la actividad por medio de la siguiente encuesta: En que nivel de comprensión se sintió con respecto a cada proceso de solución del problema? 1 para el menor nivel y 5 para el mayor nivel.












































El nivel esperado es entre 4 y 5. De acuerdo con el grafico, no se logró el nivel esperado. Se nota un porcentaje bajo en lo que respecta a la ecuación y alto en cuanto al manejo de la tabulación y fórmula.

En conclusión, todo este proceso de investigación científica me lleva a concluir que las estudiantes deben:

-Adquirir más habilidades en la solución de problemas en contexto.
-Iniciar un proceso metodológico para solucionar problemas.
-Abordar los ejes temáticos desde un aprendizaje orientado al mundo real que les permita una interacción con el conocimiento de manera agradable.