COMASACA Grado 9º Función Lineal: ecuación explícita de la recta.

La intención inicial era la de adquirir la habilidad cognitiva de despejar incógnitas en ecuaciones de variable lineal.

Para empezar recordamos las situaciones significativas de aprendizaje acerca del cobro del consumo de llamadas de un celular con dos planes que ofrecían las empresas A y B:

La empresa A ofrecía a $300 el minuto con un cargo básico de $10.000 y
la empresa B ofrecía a $250 el minuto con un cargo básico de $12.000. Construimos los modelos relaciones de función lineal que fueron:

A: C=300t + 10000
B: C=250t + 12000

Siendo C el costo en pesos y t el tiempo de la llamada en minutos.

De estas revisamos sus gráficas hechas a mano en clase y construidas con ayuda de Excel.

Luego nos remitimos a la situación que mencionaba una fotocopiadora donde por 500 copias cobrarban $25.000 y por 1000 sólo $40.000. El interrogante fue el de hallar el costo de sacar 2000 copias en esas condiciones.

Resaltamos la situación especial en la que se esperaba que por el doble de cantidad de copias cobraran también el doble, pero no fue así. Para esto, ustedes construyeron una tabla de valores, identificaron un patron de repetición y llegaron, la minoria, a la conclusión de ser $70.000 el valor buscado.

Algunos argumentaron que de 500 en 500 para el número de copias, aumentaba $15.000 para el valor, motivo por el cual para 1500 copias era de $55.000, para 2000 era $40.000, para 2500 era de $ 55.000 y para 2000, que es valor pedido, era de $70.000. Bien interesante la observación a partir del cálculo aritmético.

Buscamos entonces el modelo matemático (regla de asignación) o fórmula que relaciona a V con C. Como se había detallado que de 500 en 500 (Incremento del número de copias que llamaremos delta c) aumenta 15.000 (que es el delta V), la pregunta es para el aumento de 1 en 1. Se divide entonces 15.000 en 500 y se obtiene 30. Ahora, si multiplicamos 30 por 500 sólo nos dá 15.000, al cual le falta 10.000 para llegar al 25.000 que es el costo que propone el problema. Vemos entonces que la c se multiplica por 30 y se adiciona o suma 10.000, de aquí se obtiene la formula

V = 30c + 10.000.

Después de toda esta explicación, s epiensa que comprenden de lo que se habla y tienen ya la habilidad para aplicarlo, pero nos dimos cuenta que al preguntar: según este modelo matemático, ¿cuánto cobran por sacar una sola copia? Tardaron mucho en responder, algunos de ustedes decía que 30, otros que 10.000 y otros adivinaban sin acertar. Al cabo de un rato, sólo un estudiante responde que 10.030, valor numérico absurdo para la realidad, pero posible en lo matemático y que se explica como el uso de ese modelo solo para cantidades de copias mayores de 500.

Luego vimos como se calculaba para responde a la pregunta: para una copia se reemplaza c por 1 y se obtiene:

Si c=1 entonces V=30(1) + 10.000
............................ V= 30 + 10.000
............................ V= 10.030

La respuesta para 2000 copias se calcula mediante la expresión:

Si c= 2000 entonces V=30(2000) + 10.000
..................................... V= 60.000 + 10.000
..................................... V= 70.000

Luego surge el interrogante de averiguar el número de copias que se sacaron si se pagaron $28.000, situación en la que sólo un estudiante respondió de manera argumentada (plantenado ecuación:

Si V=28000 entonces la ecuación de dos incógnitas V=30c+10000 queda de una sola, así:

...........................V=30c+10000
...............28.000 = 30c+10.000
28.000-10.000 = 30c
...............18.000 = 30c
............18.000/3 = c
.....................600 = c

Entonces, el número de copias cuyo valor de 28.000 en esas condiciones es de 600 copias.

Ejercitación.

I. Hallar el valor de la incógnita dada, a partir del otro valor dado:

1) x+y=5 si x=3
2) x-2y = 6 si y=-2
3) v=300c-500 si c=300
4) 2(x-1) + 3(3-y) = 100 si x=-5

II. Una empresa de confites ofrece 5 bolsas de bombones por un valor total de $15.000 y 10 bolsas por $25.000. En esas mismas condiciones, ¿cuánto se debe pagar por 15 bolsas?

En el problema de las copias, la variación de c era de 500 ya que de 500 en 500 varia 15.000 para el precio. La variación de c se escribe ⌂c y en este caso ⌂c=500 y ⌂V=15.000

III. Indique el valor de ⌂b y ⌂P para el problema II, calcule luego ⌂P/⌂b, ¿qué concluyes?

IV. Un vehículo recorre 40 metros en 5 segundos y 80 metros en sólo 8 segundos, ¿en estas misma condiciones cuantó tiempo tarda en recorrer 120 metros? Realice la tabla de valores, grafique, halle ⌂distancia/⌂tiempo y relaciones este valor con la respuesta obtenida.

La solución de los problemas anteriores hacen ver la necesidad de la habilidad cognitiva en los procesos algebraicos y despeje en ecuaciones. Para esto, reforcemos en lo último:

V. Despeje la incógnita indicada en cada ecuación:

1) x en x+3=10
2) y en x+y=100
3) m en 3m-2n =m+5
4) a en ab+c=d
5) x en 1/x + 1/y = 10
6) x en ax+bx= c
7) y en y(y-1) +x = 4- x
8) h en (h+1)² = h²
9) p en p(p-1)= p(p+1) -5q
10) f en f/(f+1) = 3


En las SSIGAs anteriores vimos como se repetían algunas estructuras, por ejemplo:

• V=300c+10000 celulares, minuto a 300 y cargo básico de 10000

• V=250c+12000 celulares, minuto a 250 y cargo básico de 12000

• C=30c+15000 Copias, valor de cada una 30 y cobro constante de 15000

y algunas con las cuales nos encontraremos como:

• X=80t+300 Distancia X, velocidad 80 de un vehiculo que sale de un punto ubicado a 300 metros del punto de salida.
• Q= mC⌂T Calor Q final de una sustancia, concida su variación de temperatura y el coeficiente de dilatación C.F= m.a Fuerza necesaria para mover un cuerpo de masa m, de tal manera que experimente una aceleración a.

Notemos que las variables que se relacionan no tienen exponente mayor a 2, todas tienen exponente de uno, aunque no se les escribe, pues recuerde que por conveniencia de escritura:

x¹ = x

Estas reglas de asignación son lineales, una magnitud o variable está en función de la otra o se puede escribir en función de la otra. Esta habilidad de despejar una incógnita en una ecuación ya debe estar aprehendida. Ahora veremos la manera de escribior una expresión en su forma explícita, identificar algunas de sus caractéristicas gráficas y relacionarlas con otras funciones.

Las ecuaciones anteriormente mencionadas tienen una variable despejada que depende de otra. A la que está despejada le llamaremos variable dependiente y la que no, llamaremos independiente. Por ejemplo para el caso de C=300t+10000, la variable dependiente es C y la independiente es t. Nótese que hay valores constantes como 300 y 10000, el 300 es el coeficente del término lineal (t está elevado a la 1) y 10000 es el termino constante o independiente del término lineal, pues no tiene t.

Un problema interesante entre exponencial y lineal.

Resulta interesante buscar la solución a la ecuación:

Es evidente que tiene dos soluciones, pues la recta de ecuación y=x+5 interseca a la curva de

ecuación . La inmediata es x=3, pero la otra solución se encuentra entre -5 y -4, visualmente más cercana a -5. ¿Cuál es ese valor?

COMASACA Grado 9º Semejanza de Triángulos.

De lo fáctico a la abstracción
(Del hecho a la imaginación).

La actividad de recortar un triángulo y medir la longitud de cada uno de sus lados, para luego ampliarlo o reducirlo mediante una paralela, es significativa en la medida que usted como estudiante reconozca que luego deberá hacer eso haciendo uso de su imaginación, corresponde entonces a un proceso de abstracción.

Acordemos ahora que si a un triángulo le trazamos una paralela a uno de sus lados, puede resultar que:

- La paralela corte a los otros dos lados, que llamaremos paralela interna o

- que no corte los lados, que llamaremos paralela externa.Para la parela interna, el triángulo nuevo que se forma en esta parte, tiene ángulos cuya medida es la misma que los ángulos correspondientes al triángulo de mayor tamaño.

En la figura los ángulos marcados con igual color son correspondientes y, en este caso, tienen la misma medida, decimos que son congruentes.

El triángulo original ABC, se reduce en tamaño pero no cambia de forma para convertirse en el triángulo AB'C'.

Nota: Los triángulos se nombran de acuerdo a la letra mayúscula asignada a sus vértices, si la letra tiene una comilla, se lee prima, por ejemplo B' se lee "B prima".

Al separar estos triángulos, se puede ver que conservan la misma forma pero diferente tamaño, el triángulo AB'C' es la reducción del triángulo ABC.

¿Cómo establecer cuánto se redujo?

Esto depende de la distancia a la cual se haya trazado la recta paralela. La mejor forma de calcularlo es midiendo la longitud de los lados correspondientes. En el triángulo ABC, la medida de longitud del lado B'C' se divide en la del lado BC (a esta división se le llama relación entre los lados), a esto se le conoce como constante de proporcionalidad, pues al realizar las otras divisiones, esta cantidad no varía.

La razón entre lados correspondientes de triángulos semejantes, es constante.

Ejercictación:

1. Corte un triángulo cuyos lados midan 3, 4 y 6cm. Dibuje su contorno en el cuaderno. Luego trace una paralela interna al lado de 6cm., sin importar que tan distante esté del lado escogido. Recorte la parte sobrante (el trapecio) y mida ahora las nuevas longitudes que tiene el triángulo pequeño. Establezca la relación (división) entre los lados correspondientes. Verifique que el valor del resultado de esta división es el mismo para el resto de lados.

2. Dos triángulos tienen lados de longitudes 3, 4 y 5cm y 6, 8 y 10cm. ¿Són semejantes? Justificar la respuesta.

3. Consulte acerca del pantógrafo, explique cómo funciona y para qué sirve. En la medida de lo posible construya uno con palos de balso y haga una demostración en el salon de clase.

4. Indique si las siguientes figuras son o no semejantes. Justifique su respuesta mediante el establecimiento de la constante de proporcionalidad.

a)

b) c)


Sugerencia: para los ejercicios b y c, mida la longitud de cada lado de cada par de triángulos, establezca los lados correspondientes y halle la razón entre ellos.

5. De acuerdo a la información suministrada en la gráfica, halle la medida del perímetro de cada triángulo.



Espero disfruten de este proceso de aprehensión de conocimiento.

6. Hallar el valor de la longitud X de la figura.

Sugerencia: establezca la proporción entre los lados del triángulo azul y el triángulo grande.

7.

COMASACA Grado 9 Abstraer, Usar lenguaje matemático y Solucionar Problemas

Los cinco procesos generales que se contemplaron en los Lineamientos Curriculares de matemáticas son: formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos (MEN 2003, estándares básicos de competencias en matemáticas).

Solucionando ecuaciones de primer grado con Excel

Cuando iniciamos una clase para enseñar o recordar el proceso de solución de una ecuación sencilla de primer grado como 2x-1=x+2, se hizo aclarando que una ecuación es una igualdad donde apracen una o más incógnitas o valores que se desconocen, y que el propósito es hallar su valor numérico de tal manera que al sustituirlos en la ecuación, la igualdad se cumpla.

Para el jemplo en la ecuación que se menciona en el párrafo anterior, el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad es 3 ya que si x=3 entonces:

2(3) - 1 = (3) +2

6 - 1 = 5

5 = 5

Para resolverla podemos aplicar la propiedad uniforme de la igualdad así:

2x-1=x+2

2x -1 + (1) = x+2 +(1) .................Se adiciona 1 en ambos lados y la igualdad no se altera.

2x + 0 = x + 3 ......................Propiedad cancelativa en reales, pues 1+(-1) = 0

2x = x + 3

2x +(-x) = x+3 + (-x)

1x = x-x+3

1x= 0x +3

x=3

De manera rápida se aplica la transposición de términos:

2x-1 = x+2

2x = x + 2 +1

2x -x = 3

x=3

Que evidentemente es más corto y sencillo.

La otra manera es tabular ambos lados de la ecuación de manera manual o con ayuda de Excel. Nótese como en la tabla 1 aparece que la solución es X=3 y que los miembros de la ecuación ambos arrojan 5 para esta solución.

El interrogante es, ¿cómo usar Excel para comrpbar esto?

1. Ubicamos la tabla de valores que se muestra en la tabla 1 de la figura, sólo los valores de la columna B.

2. En la columna C, fila 3 (C3) ubicamos la fórmula =2*B3-1, la copiamos hasta que toda la tabulación esté realizada.

3. Marcamos la tabla desde B2 hasta C13, nos ubicamos en la opción de Insertar de la cinta de menus, seleccionamos Grafica, luego Dispersión y finalmente Linea Suavizada e insertamos el gráfico.

De igual manera realizamos la tabulación para x+2.

Para insertar la nueva serie a la gráfica, le damos clic derecho a la imágen, Seleccionar datos. Allí insertamos una nueva serie dando clic en agregar; seleccionamos el nombre de la serie, los valores de X y los valores de Y y listo, obtenemos la gráfica que se muestra en la tabla 1.

Ejercitación:

Resuelva las siguientes ecuaciones haciendo uso de Excel.

a) 2x-1= x+4

b) x-3 = 1-x

c) 3x-4 = 6x+2

d) x²-4x+1 = x²+6x+11

A manera de desafio: Resolver en Excel la siguiente ecuación.

COMASACA Grados 9º Taller para semana de Receso.

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RELACIONES Y FUNCIONES MATEMÁTICAS
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Buen tiempo queridos estudiantes. Desde acá de la sala de cómputo del colegio Compartir, que por cierto es muy agradable, voy escribiendo el taller que ustedes necesitan.

Propósito del taller: afianzar los procesos de clasificación de una función, de tal manera que las puedan usar para comprender e interpretar situaciones matemáticas que las requieren.

Para iniciar con las funciones, nos hemos remitido al concepto y definición de relación y función, claro está que desde la construcción que cada uno de ustedes hace en su cotidianidad.

Dijimos que una relación matemática es una asignación o correspondencia entre dos o más conjuntos en la cual a elementos del conjunto A, llamado de partida, se le asigna uno o varios elementos del conjunto B, llamado de llegada.

Un ejemplo de esto es la relación de orden que conocemos como "mayor que" y que se simboliza con ">". Busquemos todas las parejas (x,y) tales que x>y dado que x pertenezca al conjunto
A={ 1,2,3,4 } y y pertenezca al conjunto B={ 1,2,3} .

Podemos notar que la soclución a esto se obtiene seleccionando las parejas ordenadas que cumplan la condición, a partir de todas las parejas que se pueden obtener. Recordemos que este último conjunto es llamado producto cartesiano entre A y B, que se denota por AxB y es equivalente a: AxB={ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} y se muestra en la figura 4.


Nótese que es formar las parejas ordenadas donde la primera componente esté en A y la segunda esté en B. Ahora busquemos las parejas cuya primera componente sea menor a la segunda. Vemos que las parejas (1,2), (1,3) y (2,3) cumplen con la condición. Esta relación representada en un diagrama sagital sería como lo muestra la figura 5.


Es necesario observar que en el conjunto de partida sobran elementos, situación discriminatoria que usaremos más adelante para clasificar una función. Además, del elemento 1 salen dos asignaciones, situación definitoria a la hora hablar de relaciones y funciones.






Ejericicio1: halle las parejas ordenas (x,y), a partir del ejemplo anterior, que cumplen con:
(a) que x>y
(b) que x=y
(c) que y sea divisor de x.

Realice el diagrama sagital y haga la lista de las parejas. Responda en cada situación las siguientes preguntas:

-Sobran elementos en el conjunto de partida?
-Hay algún elemento en el conjunto de partida que tenga más de una asignación?



El interrogante ahora es, ¡cuándo una relación se convierte en función?

Una relación es función cuando a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del codominio. Cabe notar el significado estricto de las palabras en rojo "a cada" y "uno y sólo uno". Tranformemos esto en otros téminos con la intención de aclarar.

La asignación o correspondencia que se muestra en la figura es una función ya que Todos los elementos del conjunto de partida (el de la izquierda) tienen un correspondiente o imágen del conjunto de llegada (el de la derecha). Con esto se cumple la condición de "a cada" y también cumple que cada uno de éstos (1, 2 ó 3) tienen sólo una asignación o correspondencia, con esto se cumple con lo indicado por "uno y sólo uno". En resumen, se debe mirar que todos los elementos en el primer conjunto estén ocupados y que salga sólo una flecha de cada uno, es decir que tenga sólo una asignación. Esta otra manera de validar si es función o no lo es, pero en términos más coloquiales.

Es neceario notar que en la relación pueden sobrar elementos en el conjunto de partida y cualquier elemento puede tener más de una asignación, situación que NO ocurre en la función.

¡Qué pasa si en el conjunto de llegada o co-dominio sobra un elemento? Si cumple con la condición mencionada, sigue siendo función, pues todos los elementos en el dominio están ocupados y de cada uno sigue saliendo una sola flecha, tiene sólo una asignación.

Pregunta: Es la asignación de que se muestra en la figura 3 una función?


Sí, es función ya que cada elemento del dominio está usado o asignado y sólo una vez.

Verifiquemos que constantemente es el primer conjunto en el cual recae toda la tención, de allí que se llame Dominio. A este tipo de función que muestra la imagen se le conoce como función constante, pues siempre arroja el mismo valor.

Piensa en esto: 1 elevado a la cero da 1, que se escribe:
1°=1

2°=1 y

3°=1.

La letra f, que aparece en la gráfica, es la letra con la que se nombra la regla de asignación, que en este caso puede ser "elevar a la cero". Si elevas a la cero cada elemento del dominio siempre se obtiene 1. Esta recgla de asignación se puede expresar así: el conjunto de las parejas ordenadas (x,y) tales que y= x°. Para aplicarla procedemos así:

si x=1 entonces y= 1° o sea que y=1 y la pareja es (1,1)

si x=2 entonces y= 2° o sea que y=1 y la pareja es (2,1)

y por último si x=3 entonces y= 3° y la pareja es (3,1)

que finalmente se escribe como conjunto de la siguiente manera:

F ={ (1,1), (2,1), (3,1) }, o en su forma por comprensión F={ (x, y) con x A y y B: y=x° }.




Ejercicio 2: Sea A el conjunto dominio y B el codominio de una función f definida como sigue:

F={(x,y) / y=x+10 }, escribir el conjunto F de estas parejas (es decir por extensión), si A={3,4,5} y B={12,13,14,15} y responder:

(a) Es F una función. Para esto pregúntese si en A todos los elementos fueron ocupados y si cada elemento ocupado tiene sólo una asignación.
(b) Realice el diagrama sagital de f.
(c) Represente en el plano cartesiano la función f.

Clasificación de funciones

Como se ha visto, en las funciones pueden existir elementos del conjunto de llegada o codominio que no son imágen de un elemento del dominio o que no les "llega flecha", pero sigue siendo función. Al conjunto de los elementos del codominio que se ocupan de una función se le llama rango. Por ejemplo, el dominio de f en la gráfica es D={1,2,3} y el Codominio es C={5,10,15,20}, pero el rango o conjunto de elementos asignados es R={5,10,15}


Para clasificar las funciones haremos uso de diagramas sagitales en los cuales supondremos elementos como puntos diferentes. Analicemos las siguientes funciones y escribamos sus caracteristicas para luego clasificarlas.



Ejercicio 3: Escribamos una x en la columna donde la función cumple con la característica pedida:














Aquellas funciones que cumplen con la primera condición, se llaman inyectivas y las que cumplen con la segunda se llaman sobreyectivas. Aquellas que cumplen con las dos condiciones se llaman biyectivas.

Una recomendación para clasificarla como inyectiva es ubicarse en uno por uno de los elementos del codominio y escribir en un lado de ellos el número de flechas o asignaciones que tiene, cuando todo coinciden en una asignación, es inyectiva.

Nótese que si el codominio equivale al rango, es sobreyectiva.

En el ejercicio anterior, las funciones a, c y g son biyectivas.

Para mayor información consulte en línea:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica



Ojo, taller en construcción, continúa.....

Hoja de Vida

Información personal

Apellido(s) / Nombre(s): Cantero Manrique Oscar
Dirección (direcciones): Cra. 5 #44 -- Barrio las Delicias. (Norte de Cali)
Teléfono(s) Móvil: 317 53861--
Correo(s) electrónico(s): camaos2004@hotmail.com
Página Blog: www.semillerosucm.blogspot.com
Fecha de Nacimiento: 28 de agosto de 1974 Cali-Colombia
Nacionalidad: Colombiano
Sexo: Masculino
Profesión: Licenciado en Matemáticas, capacitado para enseñar C. N. Física y Sistemas informáticos.
Estado civil: Casado.

Experiencia de trabajo

Fechas: 01/09/1996 – 31/06/2001
Profesión o cargo desempeñado: Profesor de Matemáticas y Física
Funciones y responsabilidades principales: Docente de Matemáticas en los grados de 6º a 11º y Física en 10º y 11º.
Nombre y dirección de la empresa o empleador: Colegio Liceo Quial.
Rectora: Noemí Alvarado Dominguez
Tipo de empresa o sector: Colegio privado de educación.

Fechas: 01/09/2001 – 30/06/2003
Profesión o cargo desempeñado: Profesor de Matemáticas y Física
Funciones y responsabilidades principales: Profesor de matemáticas en los grados de 6º a 11º y Física en 10º y 11º.
Nombre y dirección de la empresa o empleador: Colegio San Fernando Rey.
Rector: Carlos Borrero
Tipo de empresa o sector: Colegio privado de educación.

Fechas: 01/09/2001 – 30/06/2003
Profesión o cargo desempeñado: Profesor de Análisis y programación de Computadores
Funciones y responsabilidades principales: Profesor de Análisis y programación de Computadores
Nombre y dirección de la empresa o empleador: Instituto Bolivariano Esdiseños
Tipo de empresa o sector: Instituto privado de educación técnica Nocturna.

Fechas: 09/2007 -09/2008
Profesión o cargo desempeñado: Profesor de matemáticas de grado 9 a 11, Especialidad sistemas: análisis y programación y Física de 10º y 11º.
Jornada tarde 3:20 a 7:00 p.m.
Empresa: Liceo San Antonio Cali
Coordinador: Profesor Javier Villota. Coordinador Académico 317 690 5186
Teléfono(s): . 438 08 04

Fechas: 01/09/2006 -30/06/2008 (Dos Años)
Profesión o cargo desempeñado: Docente de Matemáticas Grados 9º y 10º
Funciones y responsabilidades principales: Profesor de matemáticas bachillerato.
Nombre y dirección de la empresa o empleador: Colegio Ciudadela Educativa La presentación Cascajal.
Rector(a): Hna. Teresa Acosta 2006 2007
Rector(a): Hna. Martha Lucia Andrade 2007-2008
Tipo de empresa o sector: Colegio de educación privada femenino

Fechas: 01/09/2008 30/06/2010
Profesión o cargo desempeñado: Docente de Matemáticas en los Grados 6º a 11º
Funciones y responsabilidades principales: Profesor de matemáticas bachillerato.
Nombre y dirección de la empresa o empleador: Colegio de la Presentación Aguacatal Cali Colombia. Vía aguacatal 15-300
teléfono(s): 892-21-90
Rector(a): Hna. Rosana González 2007-2008 y 2008-2009
Rector(a): Hna. Rosaura Toro Toro 2009-2010
Tipo de empresa o sector: Colegio de educación privada femenino


Fechas: 01/08/2010 hasta la fecha.
Profesión o cargo desempeñado: Docente de Matemáticas en los Grados 9º a 11º
Funciones y responsabilidades principales: Profesor de matemáticas bachillerato.
Nombre y dirección de la empresa o empleador: Colegio Mayor Santiago de Cali sede el troncal.
teléfono(s): 448 58 16
Rector(a): Padre Edgar Rios.
Tipo de empresa o sector: Colegio Arquidiocesano